1、20202021学年度第二学期高一年级开学考试数学试题一、选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.已知集合Ax|1x1,Bx|2x,则ABA.1,) B.1,1 C.(1,) D.(1,12.幂函数f(x)(m24m4)在(0,)为减函数,则m的值为A.1或3 B.1 C.3 D.23.如果已知sincos0,sintan0,那么角的终边在A.第一或第二象限 B.第一或第三象限C.第二或第四象限 D.第四或第三象限4.已知sinxcosx,则sin2x的值为A. B. C. D.5.已知函数(tR),若函数f(x)恰有2个零点,则实数t的取值范围为A.(2,4 B.(5,) C.(,4
2、(5,) D.(2,4(5,)6.函数f(x)的图象大致为7.已知集合AxR|2x8,BxR|1x2 D.2m0,函数f(x)sin(x)在区间(,)上单调递减,则实数的取值范围是A., B., C.(0, D.(0,29.已知正数a、b满足1,则的最小值是A.6 B.12 C.24 D.3610.已知函数,若对任意的m3,3,都有f(ma)f(am1)0恒成立,则实数a的取值范围为A.(,2,) B.(,11,) C.,2 D.1,211(多选).已知函数f(x)|sinx|cosxA.2为f(x)的周期 B.对于任意xR,函数f(x)都满足f(x)f(x)C.函数f(x)在,上单调递减 D
3、.f(x)的最小值为12.(多选)设x表示不超过x的最大整数,如:3,3.74。给出以下命题正确的是A.若x1x2,则x1x2B.lg1lg2lg3lg20154938C.若x0,则可由2sinx解得x的范围为,1)(,D.函数,则函数f(x)f(x)的值域为0,1二、填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.命题“x(0,),x22xm0”为真命题,则实数m的最大值为 。14.当x,时,函数y33sinx2cos2x的最小值是 。15.若函数yloga(x2ax1)有最小值,则a的取值范围是 。16.已知函数在(,)上单调,且将函数f(x)的图象向右平移4个单位长度后与原来的图象重合。
4、当x(0,4)时,使得不等式成立的x的最大值为 。三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)已知全集UR,非空集合Ax|0,Bx|(xa)(xa22)0。(1)当a时,求(UB)A;(2)命题p:xA,命题q:xB,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围。18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x0时,f(x)0,又f(1)。(1)求证,f(x)为奇函数;(2)求证:f(x)在R上是减函数;(3)求f(x)在3,6上的最大值与最小值。21.(12分)已知函数的部分图象如图所示。 (I)求函数f(x)的解析式;(II)若先将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵
5、坐标不变),得到函数m(x)的图象;再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到函数g(x)的图象。已知关于x的不等式g(x)m1对任意,恒成立,求实数m的取值范围。22.(12分)已知函数的定义域为R,其中a为实数。(I)求a的取值范围;(II)当a1时,是否存在实数m满足对任意x11,1,都存在x2R,使得成立?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由。参考答案与试题解析一选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)1【解答】解:Ax|1x1,Bx|x1,AB1,+)故选:A2【解答】解:为幂函数m24m+41,解得m3或m1由当x(0,+)时为减函数,则m26m+80,解得2
6、m4m3,故选:C3【解答】解:sincos0,sintan0,sin0,cos0,tan0,在第二象限,2k+,kZk+,对k分类讨论,那么角的终边在第一或第三象限故选:B4【解答】解:,两边平方,可得:12sinxcosx1sin2x,解得:sin2x故选:C5【解答】解:因为函数(tR),若函数f(x)恰有2个零点,故2t4或t5,故选:D6【解答】解:根据题意,函数f(x),有3|x|30,解可得x1,即函数的定义域为x|x1,有f(x)f(x),f(x)为偶函数,排除AB,又由f(2)0,排除D,故选:C7【解答】解:AxR|2x8x|1x3,xB成立的一个充分不必要条件是xA,AB
7、,m+13,即m2故选:C8【解答】解:法一:令:不合题意 排除(D)合题意 排除(B)(C)法二:,得:故选:A9【解答】解:a,b为正数,且+1;a+bab;+9b+4a13;9b+4a(9b+4a)1(9b+4a)(+)25;当且仅当时取等号+9b+4a1312故选:B10【解答】解:函数,即f(x)x2,定义域为R,f(x)(x)2x2f(x),可得f(x)为R上的奇函数,当x0时,由yx2在(0,+)递增,y1在(0,+)递增,可得f(x)在(0,+)递增,则f(x)在R上递增,对任意的m3,3,都有f(ma)+f(am+1)0恒成立,即为f(ma)f(am+1)f(a+m1)在m3
8、,3恒成立,也即maa+m1,即m(a1)+a+10对m3,3恒成立,设g(m)m(a1)+a+1,可得g(3)3(a1)+a+10,且g(3)3(a1)+a+10,解得a2,故选:C11【解答】解:根据题意,函数f(x)|sinx|+cosx,其图象如图:依次分析选项:Af(x)|sinx|+cosx,其最小正周期为2,故A正确;B若f(+x)f(x),则函数f(x)关于x对称,即f(2+x)f(x),则f(2+x)|sin(x+2)|+cos(x+2)|sinx|+cosx,f(x)|sin(x)|+cos(x)|sinx|+cosx,则f(2+x)f(x),即f(+x)f(x)成立,故B
9、正确;C当x时,x+,函数f(x)sin(x+)单调递减,故C正确;D当2kx2k+,kZ,f(x)sinx+cosxsin(x+),2k+x+2k+,kZ,此时f(x)1,f(x)是偶函数,函数f(x)值域为1,故D错误;故选:ABC12【解答】解:x表示不超过x的最大整数,对任意的实数x1x2,有x1x2,A正确;lg10,lg101,lg1002,lg10003,lg1lg2lg3lg4lg90,lg10lg11lg991,lg100lg102lg9992,lg1000lg1001lg20153,lg1+lg2+lg3+lg4+lg201590+901+9002+101634938,B正
10、确;当时,2sinx0,0,x的取值范围不是,1)(,C错误;函数f(x)(,),同理,f(x)(,),当f(x)(,0)时,f(x)(0,),f(x)1,f(x)0,f(x)+f(x)1,同理当f(x)(,0)时,f(x)(0,),f(x)0,f(x)1,f(x)+f(x)1,当f(x)0时,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)+f(x)0,综上,yf(x)+f(x)1,0,D正确故选:ABD13【解答】解:命题“x(0,+),x22xm0”为真命题,等价于“x(0,+),mx22x”恒成立,设f(x)x22x,x(0,+),所以f(x)f(1)1,所以m1,即实数m的最大值为1故答
11、案为:114【解答】解:当x,时,sinx,1,函数y33sinx2cos2x2sin2x3sinx+12,故当sinx时,函数y取得最小值为,故答案为:15【解答】解:令g(x)x2ax+1(a0,且a1),当a1时,ylogax在R+上单调递增,要使yloga(x2ax+1)有最小值,必须g(x)min0,0,解得2a21a2;当0a1时,g(x)x2ax+1没有最大值,从而不能使得函数yloga(x2ax+1)有最小值,不符合题意综上所述:1a2;故答案为:1a216【解答】解:函数在上单调,所以,即T,由于函数f(x)的图象向右平移4个单位长度后与原来的图象重合所以4nT,当n1时,则
12、T4,整理得,则f(x)sin(),由于不等式成立,故(kZ),解得(kZ),由于x(0,4),当k1时,故答案为:17【解答】解:(1)a时,A0x|2x3,Bx|(x)(x2)0x|全集UR,UBx|x,或x(UB)Ax|x3;(2)命题p:xA,命题q:xB,q是p的必要条件,ABa2+2a(a)2+,a2+2a,Ax|2x3,Bx|(xa)(xa22)0,解得a1或1a2,故实数a的取值范围(,1,1,218【解答】解:(1)当x0时,设f(x)ax2+bx+c(a0),f(3)f(1)3,f(4)0,解得,f(x)x24x,当x0时,x0,f(x)(x)2+4xx2+4x,又函数f(
13、x)是在R上的奇函数,f(x)f(x),f(x)x24x,又f(0)0,函数f(x)在R上的解析式为:f(x)(2)函数f(x)的大致图象,如图所示:,函数f(x)在区间log2m,2上单调递减,2log2m2,解得:,实数m的取值范围为:,4)19【解答】解:()由题意,OAOM1和为锐角,又点B的纵坐标是,(),故20【解答】解:(1)证明:令yx,则f(x)+f(x)f(xx)f(0),当x1,y0时,则f(1)+f(0)f(1)f(0)0f(x)+f(x)f(0)0即f(x)f(x)f(x)为奇函数(2)设x1,x2R,且x1x2,则f(x2)f(x2x1)+x1f(x2x1)+f(x
14、1)f(x2)f(x1)f(x2x1),x2x10,由题意得f(x2x1)0,即f(x2)f(x1)f(x)在R是减函数;(3)f(1)f(2) f(3)2f(x)在3,6上是减函数,f(x)maxf(3)f(3)2f(x)minf(6)421【解答】解:()由f(x)的部分图象可知A2,可得T,所以2,由五点作图法可得2+,解得,所以函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x+)()若先将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数m(x)2sin(x+)的图象,再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到函数g(x)2sin(x+)2sin(x+)的图象当
15、x,时,x+,sin(x+),1,所以g(x)1,2,因为不等式g(x)m1对任意恒成立,等价于g(x)minm1恒成立,所以1m1,解得m2,即实数m的取值范围是(,222【解答】解:()由函数的定义域为R,则不等式ax22ax+10对任意xR都成立,当a0时,10显然成立;当a0时,欲使不等式ax22ax+10对任意xR都成立,则,解得0a1综上,实数a的取值范围为0,1;()当a1时,当xR时,f(x)min0令可得函数t3x3x在x1,1上递增,则,9x+9x+m(3x3x)1t2+mt+1,令h(t)t2+mt+1,若存在实数m满足对任意x11,1,都存在x2R,使得成立,则只需h(t)min0当即时,函数h(t)在上单调递增则解得,与矛盾;当即时,函数h(t)在上单调递减,在上单调递增,则,解得2m2;当即时,函数h(t)在上单调递减则解得,与矛盾综上,存在实数m满足条件,其取值范围为2,2