1、2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 第二章 直线和圆的方程 学 习 任 务核 心 素 养 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点)2.能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题(重点、难点)通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？知识点 1 两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在 条件12_12_ 对应关系l1l2_l1l2两直线斜率都_图示 k1k29090不存在1.(1)两
2、直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？提示(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A、B、C三点共线1.已知直线l1经过两点(1，2)，(1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(，6)，且l1l2，则_.2 由题意知l1x轴，又l1l2，所以l2x轴，故2.直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1(1，k1)，n2(1，k2)，若l1l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？知识点 2 两条直线垂直与斜率之间的关系图示 对应关系l
3、1l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)l1 的斜率不存在，l2 的斜率为0 k1k21l1l22.“两条直线的斜率之积等于1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？提示 不是“两条直线的斜率之积等于1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在2.l1的斜率为23，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1l2时，m的值为_ 12 由条件l1l2得23m11 1，解得m12.合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型1 两直线平行的判定及应用【例1】(1)(对接教材P56例题)根据下列给定的条件，判断直线l1与
4、直线l2是否平行l1经过点A(2,3)，B(4,0)，l2经过点M(3,1)，N(2,2)；l1的斜率为12，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)；l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)(2)试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行解(1)kAB302412，kMN21231，kABkMN，所以l1与l2不平行 l1的斜率k112，l2的斜率k2322412，k1k2，所以l1与l2平行或重合 由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也
5、不存在，且与y轴重合，所以l1l2.由题意，知kEF11201，kGH34231，kEFkGH，所以l1与l2平行或重合 需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG41321.所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kABm6m，kCD2412.由于ABCD，所以kABkCD，即m6m12.解得m2.经验证m2时，直线AB的斜率存在，故m的值为2.试总结判断两条平行的步骤提示 跟进训练1已知点A(m,3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为()A1 B0 C0或1 D
6、0或2C 法一：A(m,3)，B(2m，m4)，其方向向量为AB(m，m1)C(m1,2)，D(1,0)，其方向向量为CD(m，2)，由直线AB与直线CD平行，得m(2)(m1)(m)0，解得m0或m1.经检验，m0或m1时，两直线不重合，故选C 法二：当m0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时ABCD，满足题意 当m0时，kABm432mm m1m，kCD20m112m，由题意得kABkCD，即m1m 2m，解得m1或m0(舍去)经检验，m0或m1时，两直线不重合，m的值为0或1.故选C类型2 两直线垂直的判定及应用【例2】(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直l1经过点A(1，2)，
7、B(1,2)；l2经过点M(2，1)，N(2,1)；l1的斜率为10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(10,40)，N(10，40)(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，求a的值解(1)k122112，k2112212，k1k21，l1与l2不垂直 k110，k2 322010 110，k1k21，l1l2.由A，B的横坐标相等得 l1的倾斜角为90，则l1x轴 k2404010100，则l2x轴，l1l2.(2)因为直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2
8、)，所以l2的斜率存在，设为k2.当k20，即a23，亦即a5时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1l2；当k20，即a23，亦即a5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k21，得3aa23 a23121，解得a2.综上可知，a的值为5或2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况跟进训练2已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解 A，B两点纵坐标不相等，AB与x轴不平行ABCD，CD与x轴不垂直，m3，m3.(
9、1)当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1.当m1时C，D两点的纵坐标均为1.CDx轴，此时ABCD，满足题意(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得 kAB422m4m32m1，kCD3m2m3m 2m1m3.ABCD，kABkCD1，即2m12m1m3 1，解得m1.综上，m的值为1或1.类型3 两条直线平行与垂直的综合应用【例3】(1)已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，则点D的坐标为_(2)已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5,2)，D(1,2)若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标如何利用直线的平行与垂直关系，求点的坐标？(1)(10
10、，6)设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB1，直线CD的斜率kCD y4x，直线BC的斜率kBC 23，直线AD的斜率kAD yx1，由ABCD，且ADBC，得y4x 11，23 yx1，解得x10，y6，所以点D的坐标为(10，6)(2)解 若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1)图(1)图(2)若AB90，如图(2)设A(a，b)，则kBC3，kADb2a1，kABb1a6.由ADBCkADkBC，即 b2a1 3；由ABBCkABkBC1，即b1a6(3)1.解得a125，b115，故A125，115.综上所述，A点坐标为(1，1)或
11、125，115.关于直线平行与垂直的综合应用(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论跟进训练3在直角梯形ABCD中，已知A(5，10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标解 设D(x，y)，因为DCAB，所以 y10 x5 010155，又因为DAAB，所以y10 x5 0101551.由以上方程组解得：x11，y2.所以D(11,2)当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1若过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，1)和点N(3,4)的
12、直线平行，则m的值是()A13 B13 C2 D2B 由kPQkMN，即 2m23m4132，得m13.经检验知，m13符合题意2 1 3 4 5 2若直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为()A1aBaC1aD1a或不存在D 由l1l2，当a0时，kl2 1a，当a0时，l2的斜率不存在，故应选D3 1 2 4 5 3若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与斜率为 23 的直线垂直，则实数a的值是()A23 B32 C23 D32A 依题意得，23k11，即k111a2a232，解得a23，故选A4 1 2 3 5 4(多选题)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别
13、是1，2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是()A若l1l2，则k1k2B若k1k2，则l1l2C若l1l2，则12D若12，则l1l24 1 2 3 5 ABCD 由题意知，两直线l1，l2的斜率存在，根据两直线平行，其斜率和倾斜角的关系知，A，B，C，D均正确2 4 5 1 3 5若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_1 若a3b，则P，Q两点重合，不合题意故PQ斜率存在由kPQ3ab3ba1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为1.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)两条直线平行和斜率有怎样的关系？提示 两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在(2)两条直线垂直和斜率有怎样的关系？提示 两条直线垂直，则它们的斜率之积为1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在(3)经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？提示 A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
