1、第4课时 函数的奇偶性与单调性基础过关1奇偶性： 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) . 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.2与函数周期有关的结论：已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期
2、 典型例题例1. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.解：（1）x2-10且1-x20,x=1,即f(x)的定义域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（3）
3、由|x-2|0，得x2.f（x）的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：（1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=解：（1）由0，得定义域为-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.（2）由得定义域为（-1，0）（0，1）.这时f（x）=.f（-x）=-f（x）为偶函数.（3）x-1时，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1时，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1时，f（x）=0，-1-x1,f（-x）=0=f（x）.对定义域内的每个x都有
4、f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.例2 已知函数f (x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求证：f(x)是奇函数；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间-2，6上的最值.（1）证明： 函数定义域为R，其定义域关于原点对称.f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（2）解：方法一 设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR
5、+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x+yx,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.f(1)=-,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.方法二 设x1x2,且x1, x2R.则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.f（-2）为最
6、大值，f（6）为最小值.f（1）=-， f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x(-,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.当x0时，-x0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg(2+x) （x0）.f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (xR).例3 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)
7、=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的个数.（1）证明： f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数.（2）解： 当0x1时，f(x)=x,设-1x0,则0-x1,f（-x）=（-x）=-x.f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）,-f（x）=-x，即f(x)= x. 故f(x)= x(-1x1) 又设1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2), 又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）=-f（-x）=-
8、f（x），-f（x）=（x-2），f（x）=-（x-2）（1x3）. f（x）=由f(x)=-,解得x=-1.f（x）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-的所有x=4n-1 (nZ). 令04n-12 009,则n,又nZ，1n502 （nZ）,在0，2 009上共有502个x使f(x)=-.变式训练3：已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR.（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-a，求f (x)的最小值.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)f(-a),
9、f(a)-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.（2）当xa时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+,a,故函数f(x)在（-，a上单调递减，从而函数f(x)在（-，a上的最小值为f(a)=a2+1.当xa时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,a-，故函数f(x)在a，+）上单调递增，从而函数f(x)在a，+)上的最小值为f(a)=a2+1. 综上得，当-a时，函数f(x)的最小值为a2+1.小结归纳1奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与a，验证f(a)f(a)0.2对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.3函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.
