1、成都铁中高三4月第二次考试数学试题命题：高水才 审题：张晓征 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。ba1. （理科）已知a、bR，i为虚数单位，若，则 的值为A. 0 B. 1C. 2D. 3（文科）下列函数在为减函数的是 ( )A. B. C. D. 2.如图，为互相垂直的单位向量，则向量可表示为A3 B-2 C D （第2题图）3.函数的反函数的定义域为 A. B. C. D. 4.“,”是“”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.设等差数列的前项和为，若，则等于 A. B. C. D. 6.把函数y=sinx的
2、图像按下列顺序变换：图像上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）图像向右平移个单位，得到的函数y=g(x)的解析式为7.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用，且同一个数字不能相邻出现，这样的四位数有A. 6个 B. 9个 C. 18个 D. 36个8.某运输公司有7辆载重8t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型5次，B型6次，每辆卡车每天往返的运输成本为A型160元，B型180元。每天合理安排派出的A型、B型车的车辆数，使公司成本最低，最低成本为A. 1
3、200元 B. 1320元0 C. 1340元 D. 1520元9椭圆的左、右焦点分别为、 ,弦过 ，若的内切圆周长为 ，、两点的坐标分别为)和，则的值为 A. B. C. D. 10.已知向量的夹角为，则的取值范围是 A. B. C. D.11.设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和，二面角的平面角为，则球的半径为 A. B. C. D. 12.定义在上的函数满足，当时，若时，恒成立，则实数的取值范围是A. B. ；C. ； D. 二、填空题：每小题4分，共16分13若，则 ；14.已知的最大值为，则二项式展开式中常数项等于 ；15抛物线y22p
4、x（p0）的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且AFB90，弦AB的中点在其准线上的射影为，则的最大值为 ；16. 设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意,有，且，则称为上的高调函数.现给出下列命题：函数为上的高调函数；函数为上的高调函数；函数为上的高调函数；若函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是.其中正确的命题的序号是_ (写出所有正确命题的序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B60（）若cos(BC)，求cosC的值；（）若a5，5，求ABC的面积18（本小题
5、满分12分）（理科）为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰。已知选手甲答题的正确率为。（1） 求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；（2） 设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望。（文科） 为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一
6、题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰。已知选手甲答题的正确率为。（1） 求选手甲回答问题个数为4的概率；（2） 求选手甲进入决赛的概率。19. (本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面丄底面, 为的中点，是棱上的点，,二面角的大小为30.(I )求证：平面丄平面;(II )求直线与所成角的余弦值；(III)求三棱锥的体积.20（本小题满分12分）已知数列中，其前项和满足：.（1）试求数列的通项公式；（2）令，是数列的前项和，证明：；（3）证明：对任意的，均存在，使得（2）中的成
7、立.21（本小题满分15分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为 焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，.（）求曲线和的方程；（）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依 次交于四点，若为中点、为中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.22（本题满分14分）（理科）已知为常数，函数， （其中是自然对数的底数）（）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；（）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围 (文科)已知函数.()当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;()若方程f(x)=0恰有三个不同的实根,求实数a的取值范
8、围;()已知不等式对任意都成立,求实数x的取值范围.设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）（）当时，求函数的极值；（）若在上恒成立，求实数a的取值范围；（）设，求证：（其中e是自然对数的底数）答案C(D)CCAB DCAAA CC 13. 14.45 15.16.17.解：（）在ABC中，由cos(BC)，得sin(BC)，cosCcos(BC)Bcos(BC) cosBsin(BC) sinB（6分）（）由5，得|cos(180C)5，即abcosC5，又a5，bcosC1， 由正弦定理，得，即bcosCbsinC5， 将代入，得bsinC6，故ABC的面积为SabsinC5615（12分
9、）18. 20.解 ：（1） 由得，即.又，故数列的通项公式为. 4分（2）证明 ，. 8分（3）证明 由（2）可知，若，则得，化简得.，当，即时，取即可，当，即时，则记的整数部分为，取即可，综上可知：对任意的均存在使得式（2）中的成立. 12分21.（）解法一：设椭圆方程为，则， 得.设，则，两式相减得，由抛物线定义可知，则或 （舍去） 所以椭圆方程为，抛物线方程为.4分 解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线， 作轴于，则由抛物线的定义得， 所以 ， 得，所以c1， (，得）, 因而椭圆方程为，抛物线方程为.4分 （）设把直线 12分22（文科）.()a=1时,所以切线
10、方程为,即.3(),令得x=-a或x=2a.于是得x2a,得-ax2a.所以x=-a时,f(x)取得极大值;x=2a时,f(x)取得极小值.2要使方程f(x)=0恰有三个不同的实根,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零,所以,解之得.2()要使对任意都成立,即.,于是对任意都成立,则x大于的最大值.,当,即时取等号.故.5（理科） （），函数，当时，；当时，故该函数在上单调递增，在上单调递减函数在处取得极大值4分（）由题在上恒成立，若，则，若，则恒成立，则不等式恒成立等价于在上恒成立，6分令，则，又令，则，当时，则在上单调递减，在上单减，即在上恒成立；7分当时，）若，即时，则在上单调递减，在上单调递减，此时在上恒成立；8分）若，即时，若时，则在上单调递增，在上也单调递增，即，不满足条件9分综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是10分（）由（）知，当时，则，当时，令，则，12分又由（）得，即，当x0时，综上得，即14分
