1、成都铁中高三4月第二次考试数学试题命题:高水才 审题:张晓征 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5分,共60分。ba1. (理科)已知a、bR,i为虚数单位,若,则 的值为A. 0 B. 1C. 2D. 3(文科)下列函数在为减函数的是 ( )A. B. C. D. 2.如图,为互相垂直的单位向量,则向量可表示为A3 B-2 C D (第2题图)3.函数的反函数的定义域为 A. B. C. D. 4.“,”是“”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.设等差数列的前项和为,若,则等于 A. B. C. D. 6.把函数y=sinx的
2、图像按下列顺序变换:图像上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)图像向右平移个单位,得到的函数y=g(x)的解析式为7.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数字必须同时使用,且同一个数字不能相邻出现,这样的四位数有A. 6个 B. 9个 C. 18个 D. 36个8.某运输公司有7辆载重8t的A型卡车,4辆载重10t的B型卡车,有9名驾驶员。在建造某段高速公路中,公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型5次,B型6次,每辆卡车每天往返的运输成本为A型160元,B型180元。每天合理安排派出的A型、B型车的车辆数,使公司成本最低,最低成本为A. 1
3、200元 B. 1320元0 C. 1340元 D. 1520元9椭圆的左、右焦点分别为、 ,弦过 ,若的内切圆周长为 ,、两点的坐标分别为)和,则的值为 A. B. C. D. 10.已知向量的夹角为,则的取值范围是 A. B. C. D.11.设直线与球有且只有一个公共点,从直线出发的两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和,二面角的平面角为,则球的半径为 A. B. C. D. 12.定义在上的函数满足,当时,若时,恒成立,则实数的取值范围是A. B. ;C. ; D. 二、填空题:每小题4分,共16分13若,则 ;14.已知的最大值为,则二项式展开式中常数项等于 ;15抛物线y22p
4、x(p0)的焦点为F,点A、B在此抛物线上,且AFB90,弦AB的中点在其准线上的射影为,则的最大值为 ;16. 设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意,有,且,则称为上的高调函数.现给出下列命题:函数为上的高调函数;函数为上的高调函数;函数为上的高调函数;若函数为上的高调函数,那么实数的取值范围是.其中正确的命题的序号是_ (写出所有正确命题的序号). 三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知B60()若cos(BC),求cosC的值;()若a5,5,求ABC的面积18(本小题
5、满分12分)(理科)为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分,为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰。已知选手甲答题的正确率为。(1) 求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率;(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为,试写出的分布列,并求的数学期望。(文科) 为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分,为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一
6、题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰。已知选手甲答题的正确率为。(1) 求选手甲回答问题个数为4的概率;(2) 求选手甲进入决赛的概率。19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,平面丄底面, 为的中点,是棱上的点,,二面角的大小为30.(I )求证:平面丄平面;(II )求直线与所成角的余弦值;(III)求三棱锥的体积.20(本小题满分12分)已知数列中,其前项和满足:.(1)试求数列的通项公式;(2)令,是数列的前项和,证明:;(3)证明:对任意的,均存在,使得(2)中的成
7、立.21(本小题满分15分)如图,曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点、为 焦点的抛物线的一部分,是曲线和的交点且为钝角,若,.()求曲线和的方程;()过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依 次交于四点,若为中点、为中点,问是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.22(本题满分14分)(理科)已知为常数,函数, (其中是自然对数的底数)()过坐标原点作曲线的切线,设切点为,求证:;()令,若函数在区间上是单调函数,求的取值范围 (文科)已知函数.()当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;()若方程f(x)=0恰有三个不同的实根,求实数a的取值范
8、围;()已知不等式对任意都成立,求实数x的取值范围.设函数,函数(其中,e是自然对数的底数)()当时,求函数的极值;()若在上恒成立,求实数a的取值范围;()设,求证:(其中e是自然对数的底数)答案C(D)CCAB DCAAA CC 13. 14.45 15.16.17.解:()在ABC中,由cos(BC),得sin(BC),cosCcos(BC)Bcos(BC) cosBsin(BC) sinB(6分)()由5,得|cos(180C)5,即abcosC5,又a5,bcosC1, 由正弦定理,得,即bcosCbsinC5, 将代入,得bsinC6,故ABC的面积为SabsinC5615(12分
9、)18. 20.解 :(1) 由得,即.又,故数列的通项公式为. 4分(2)证明 ,. 8分(3)证明 由(2)可知,若,则得,化简得.,当,即时,取即可,当,即时,则记的整数部分为,取即可,综上可知:对任意的均存在使得式(2)中的成立. 12分21.()解法一:设椭圆方程为,则, 得.设,则,两式相减得,由抛物线定义可知,则或 (舍去) 所以椭圆方程为,抛物线方程为.4分 解法二:过作垂直于轴的直线,即抛物线的准线,作垂直于该准线, 作轴于,则由抛物线的定义得, 所以 , 得,所以c1, (,得), 因而椭圆方程为,抛物线方程为.4分 ()设把直线 12分22(文科).()a=1时,所以切线
10、方程为,即.3(),令得x=-a或x=2a.于是得x2a,得-ax2a.所以x=-a时,f(x)取得极大值;x=2a时,f(x)取得极小值.2要使方程f(x)=0恰有三个不同的实根,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零,所以,解之得.2()要使对任意都成立,即.,于是对任意都成立,则x大于的最大值.,当,即时取等号.故.5(理科) (),函数,当时,;当时,故该函数在上单调递增,在上单调递减函数在处取得极大值4分()由题在上恒成立,若,则,若,则恒成立,则不等式恒成立等价于在上恒成立,6分令,则,又令,则,当时,则在上单调递减,在上单减,即在上恒成立;7分当时,)若,即时,则在上单调递减,在上单调递减,此时在上恒成立;8分)若,即时,若时,则在上单调递增,在上也单调递增,即,不满足条件9分综上,不等式在上恒成立时,实数a的取值范围是10分()由()知,当时,则,当时,令,则,12分又由()得,即,当x0时,综上得,即14分