1、3.2.2复数代数形式的乘除运算学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点一复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算？答案两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点
2、二共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.知识点三复数的除法法则思考类比根式除法的分母有理化，比如，你能写出复数的除法法则吗？答案设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.类型一复数代数形式的乘法运算例1(1)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a_.(2)已知复数z1(i)(1i)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_.答案(1)3(2)42i解析(1)(12i)(ai)a2(2a1)i的实部与虚部相等，可得a22a1，解得a3.(2)z1(i)(1i)2i.设z2a2i，z1z2(2i
3、)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2是实数，4a0，即a4，z242i.引申探究1若本例(1)中复数(12i)(ai)表示的点在第二象限，则a的取值范围是_答案(，2)解析(12i)(ai)a2(2a1)i，由题意知解得a2.2将本例(2)中z1z2是实数改为z1z2是纯虚数，求z2.解由例1(2)知，z1z2(2a2)(4a)i，z1z2是纯虚数，得a1，z212i.反思与感悟(1)两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成1；最后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式(2)常用公式(abi)2a22abib2(a，bR)；(abi)(abi)a2b2(a
4、，bR)；(1i)22i.跟踪训练1(1)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_答案2解析因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.(2)已知复数z满足(z2)43i，求z.解设zxyi(x，yR)，则xyi.由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以z(1)i或z(1)i.类型二复数代数形式的除法运算例2(1)已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是()AMBNCPDQ答案D解析由图可知z3i.复数2i表示的点是Q(2，1)故选D.(2)计算：；.解方法一2i.方法二ii2i.原式(
5、1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.反思与感悟(1)两个复数代数形式的除法运算步骤首先将除式写为分式；再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式(2)常用公式i；i；i.跟踪训练2(1)i是虚数单位，若abi(a，bR)，则log2(ab)的值是()A1B.C2D3(2)已知复数z满足(1i)z1i，则|z|_.答案(1)A(2)解析(1)iabi，log2(ab)log221.(2)(1i)z1i，z，|z|.类型三共轭复数例3(1)复数z的共轭复数记作.已知(12i)(3)43i，则z_.答案5i解析(
6、12i)(3)43i，3，3，335i，则z5i.(2)已知复数z的共轭复数为，且z(3i)，求z.解设zabi(a，bR)，则abi，由z(3i)，得z3zi13i，a2b23b3ai13i，由复数相等的条件，得解得或z1或z13i.反思与感悟当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解跟踪训练3(1)已知i是虚数单位，m，nR，且m2i2ni，则的共轭复数为_答案i解析m，nR，且m2i2ni，可得m2，n2，i.所以它的共轭复数为i.(2)已知复数z满足：z2zi86i，求复数z的实部与虚部的和解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22
7、i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1若复数z，其中i为虚数单位，则等于()A1iB1iC1iD1i答案B解析z1i，1i，故选B.2设复数z11i，z2mi，若z1z2为纯虚数，则实数m可以是()AiBi2Ci3Di4答案B解析z1z2(1i)(mi)m1(m1)i.z1z2为纯虚数，即得m1，i21，实数m可以是i2，故选B.3设复数z1i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则_.答案12i解析z1i，1i，12i.4计算：(1)(i)(4i6)；(2).解(1)(i)(4i6)4i(6)i4ii(6)2i369i97i.(2)i(12i)
8、2i.5已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i或i.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复
9、数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化课时作业一、选择题1复数i等于()A2iB.iC0D2i答案A解析ii2i，故选A.2设复数z1i，则z22z等于()A3B3C3iD3i答案A解析z22z(1i)22(1i)1(i)22i22i3.3已知复数z13bi，z212i，若是实数，则实数b等于()A6B6C0D.答案A解析是实数，6b0，实数b的值为6，故选A.4设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i等于()A2B2iC2D2i答案C解析z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故选C.5已知复数z满足
10、i，且z的实部与虚部之和为0，则实数m等于()A3B1C1D3答案B解析由i，得zi，又z的实部与虚部之和为0，则0，解得m1.6已知复数z(bR)的实部为1，则复数b在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案C解析zi，又复数z(bR)的实部为1，则1，即b6.z15i，则15i.复数b15i675i，在复平面上对应的点的坐标为(7，5)，位于第三象限故选C.7若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z等于()A12iB12iC12iD12i答案B解析设zabi(a，bR)，则abi，2z2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i，故选B
11、.二、填空题8已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.答案1解析2aibi，即得ab1.9若复数z满足(34i)z43i，|z|_.答案1解析因为(34i)z43i，所以zi.则|z|1.10如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于第_象限答案二解析由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以12i，对应的点在第二象限三、解答题11已知复数z.(1)求z的共轭复数；(2)若azb1i，求实数a与b的值解(1)z1i.1i.(2)a(1i)b1i，即abai1i，解得a1，b2.12已知i是虚数单位，且复数z满足(z3)(2i)5.(1)求z及|z23i|；(
12、2)若z(ai)是纯虚数，求实数a的值解(1)(z3)(2i)5，z33(2i)35i.|z23i|34i|5.(2)由(1)可知，z5i，z(ai)(5i)(ai)(5a1)(a5)i.又z(ai)是纯虚数，5a10且a50，解得a.13已知z是复数，z2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解z是复数，z2i与均为实数，可设zx2i，可得x2.因为复数(zai)2(22iai)2a24a4(a2)i，因为复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，所以所以即2a0，b0，求证：4.(1)解由复数z(a2i)(1bi)，又z5i，得(a2i)(1bi)(a2b)(2ab)i5i，则解得或(2)证明若z的实部为2，即a2b2.a0，b0且a2b2，(a2b)1，()(a2b)(4)(42)4.当且仅当，即a1，b时取等号，4.
