1、1.2 空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 学 习 任 务核 心 素 养 1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点、难点)1.通过基底概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过用空间向量基本定理，解决简单的立体几何问题，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 平面向量基本定理表明，在给定的平面内，当向量 a 与 b 不共线时，任意一个向量 c 都可以写成 a 与 b 的线性运算，而且表达式唯一空间向量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来，如
2、果没有说明理由知识点 1 空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p.其中a，b，c叫做空间的一个，a，b，c 都叫做基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底xaybzc基底对于基底a，b，c，三个基向量 a，b，c 中能否有一个为 0?提示 因为向量 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为 0.(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底(2)一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念1.思考辨析(正确的打“”，错
3、误的打“”)(1)空间向量的基底是唯一的()(2)若 a，b，c 是空间向量的一个基底，则 a，b，c 均为非零向量()(3)已知 A，B，M，N 是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，则 A，B，M，N 共面()(4)若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数 x，y，z 使得 xaybzc0，则有 xyz0.()提示(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底(2)若 a，b，c 中有一个零向量，则 a，b，c 三向量共面不能构成基底(3)BA，BM，BN，不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点 B，因此 A，B，M，N 四点共面(4)a，b，c 不共面，则必
4、有 xyz0.知识点 2 空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底常用i，j，k表示(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使得 axiyjzk.像这样，把一个空间向量分解为三个的向量，叫做把空间向量进行正交分解两两垂直1两两垂直2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间的单位正交基底是唯一的()(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量()(3)对于单位正交基底i，j，k,2j0i2j0k.()提示(1)不唯一(2)由单位正交基底的定义可知正确(
5、3)由向量正交分解知正确 合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型 1 空间的基底【例 1】e1，e2，e3是空间的一个基底，且OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空间的一个基底解 假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数 x，y，使OA xOB yOC 成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即 e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3，e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3 不共面 y3x1，xy2，2xy1，此方程组无解 即不存在实数 x，y 使得
6、OA xOB yOC，所以OA，OB，OC 不共面 所以OA，OB，OC 能作为空间的一个基底基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设 ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底依托正方体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，构造所需向量，判断它们是否共面跟进训练1已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 aOA OB OC，向量 bOA
7、 OB OC，则与 a，b 不能构成空间基底的是()AOA BOB COC DOA 或OBC 由OC 12(ab)知OC 与 a，b 共面 所以 a，b，OC 不能构成空间的基底，故选 C2若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为空间的一个基底？解 假设 ab，bc，ca 共面，则存在实数，使得 ab(bc)(ca)，即 abab()c.a，b，c是空间的一个基底，a，b，c 不共面 1，1，0，此方程组无解 即不存在实数，使得 ab(bc)(ca)，ab，bc，ca 不共面 故ab，bc，ca能作为空间的一个基底类型 2 用空间的基底表示空间向量【例 2】(对接教材 P1
8、2 例题)如图，在三棱柱 ABC-ABC中，已知AA a，ABb，ACc，点 M，N 分别是 BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量AM，AN.解 连接 AN(图略)AM AB12BC AB12(BCCC)AB12BC12CC AB12(ACAB)12AA 12AB12AC12AA 12(abc)ANAA AN AA 12(AB AC)AA 12(ABAC)a12b12c.若把本例中“AA a”改为“AC a”，其他条件不变，则结果是什么？解 因为 M 为 BC的中点，N 为 BC的中点，所以AM 12(ABAC)12a12b.AN12(AB AC)12(ABBB AC)12AB12CC
9、 12AC 12AB12(AC AC)12AC 12ABAC 12AC 12ba12c.基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘跟进训练3.如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO平面 OABC，设OA a，OC b，OP c，E，F 分别是 PC，PB 的中点，试用 a，b，c 表示：BF，BE，AE，EF.解 连接 BO(图略)，则BF12BP12(BO OP)12(cba)12a12b12c.BEB
10、CCEBC12CPBC12(CO OP)a12b12c.AEAPPEAO OP 12(PO OC)ac12(cb)a12b12c.EF12CB12OA 12a.类型 3 空间向量基本定理的应用【例 3】在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 DD1，BD 的中点，点 G 在棱 CD 上，且 CG13CD(1)证明：EFB1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值解(1)证明：设DA i，DC j，DD1 k，则i，j，k构成空间的一个正交基底 所以EFED DF 12k12(DA AB)12i12j12k，B1C B1BBCik，所以EF B1C 12i1
11、2j12k(ik)12|i|212|k|20，所以EFB1C(2)EF12i12j12k，C1G C1C CG k13j，|EF|212i12j12k 214|i|214|j|214|k|23，|EF|3，|C1G|2k13j 2|k|219|j|2449409，|C1G|2 103，cosEF，C1G EFC1G|EF|C1G|12i12j12k k13j32 103432 303 3015.本例中设线段 A1B 的中点为 M，证明：MFB1C解 设DA i，DC j，DD1 k，则B1C B1B BCik，MFAFAM 12j12i 12j12k 12i12k12(ik)12B1C，所以M
12、FB1C基向量法解决平行、垂直及夹角问题首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的向量用基向量表示(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为 0；(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线；(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)跟进训练4.在所有棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A1B1C1 中，B1BC60，求证：(1)AB1BC；(2)A1C平面 AB1C1.证明(1)易知AB，BC120，AB1 ABBB1，则AB1 BC(ABBB1)BC ABBC BB1 BC 2212 22120.所以AB1BC(2)易知四边形 AA1C1C 为菱形，所以 A1CAC1
13、.因为AB1 A1C(BB1 BA)(ACAA1)(BB1 BA)(BCBAAA1)BB1 BCBB1 BABB1 AA1 BABCBABABAAA1 BB1 BCBB1 AA1 BABCBABA 22124221240，所以 AB1A1C，又 AC1AB1A，所以 A1C平面 AB1C1.当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量的一组基底的是()AAB，AC，AD BAB，AA1，AB1CD1A1，D1C1，D1D DAC1，A1C，CC1C 只有选项 C 中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底故选 C2 1 3 4 5 2(
14、多选题)在空间四点 O，A，B，C 中，若OA，OB，OC 是空间的一个基底，则下列命题正确的是()AO，A，B，C 四点不共线BO，A，B，C 四点共面，但不共线CO，A，B，C 四点不共面DO，A，B，C 四点中任意三点不共线2 1 3 4 5 ACD 选项 A 对应的命题是正确的，若四点共线，则向量OA，OB，OC 共面，构不成基底；选项 B 对应的命题是错误的，若四点共面，则OA，OB，OC 共面，构不成基底；选项 C 对应的命题是正确的，若四点共面，则OA，OB，OC 构不成基底；选项 D 对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量OA，OB，OC 构不成基底，故选 ACD
15、3 1 2 4 5 3设 a，b 都是非零向量，AB2a3b，CD a32b，则不重合的直线 AB 与 CD()A相交 B平行C垂直D无法判位置关系B 由题意知，AB2CD，则 ABCD，故选 B4 1 2 3 5 4正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，取AB，AD，AA1 为基底，若 G为平面 BCC1B1 的中心，且AG xAB yAD zAA1，则 xyz_.4 1 2 3 5 2 如图，AG ABBG AB12BC1 AB12(BCBB1)AB12AD 12AA1.由条件知 x1，y12，z12.xyz112122.2 4 5 1 3 5已知e1，e2，e3为空间的一个基底，若 a
16、e1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且 dabc，则，分别为_2 4 5 1 3 52，1，12 abc(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又 de12e23e3，1，2，3，解得52，1，12.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)若a，b，c是空间的基底，则 a，b，c 满足什么条件？提示 a，b，c 不共面(2)叙述空间向量基本定理的内容 提示 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc.(3)在用向量法解决平行、垂直、长度、夹角等问题时，如何选择空间的基底？提示 选择三个不共面的向量，且它们的长度和相互之间的角度已知点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
