1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 2 讲 空间图形的基本关系与公理 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 夯基释疑判断正误(在括号内打“”或“”)(1)梯形可以确定一个平面()(2)圆心和圆上两点可以确定一个平面()(3)已知a，b，c，d是四条直线，若ab，bc，cd，则ad.()(4)两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线()结束放映返回目录第3页 考点突破解析(1)正确，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线；不正确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论
2、不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形考点一 平面基本性质的应用【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面；若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面；依次首尾相接的四条线段必共面 A0 B1 C2 D3(2)见下一页 能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理结束放映返回目录第4页 考点突破(2)如图所示，作RGPQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，连
3、接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，截面为六边形PQFGRE.答案(1)B(2)D 考点一 平面基本性质的应用【例1】(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 关键是画截面与几何体各面的交线NMEFG结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要
4、能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置考点一 平面基本性质的应用结束放映返回目录第6页 考点突破解析 可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面 答案 考点一 平面基本性质的应用【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的
5、中点，则四个点共面的图形的序号是_ 结束放映返回目录第7页 考点突破考点二 空间两条直线的位置关系【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_ 关键是平面展开图还原解析 把正四面体的平面展开图还原 如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案 结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 空间两条直线的位置关系规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可
6、采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决 结束放映返回目录第9页 考点突破解析 如图，连接C1D，BD，AC，在C1DB中，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，故B正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.考点二 空间两条直线的位置关系【训练2】(1)(2014余姚模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A
7、MN与CC1垂直BMN与AC垂直 CMN与BD平行DMN与A1B1平行 结束放映返回目录第10页 考点突破(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面 答案(1)D(2)考点二 空间两条直线的位置关系【训练2】(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)结束放映返回目录第11页 考点突破解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是P
8、B与面ABCD所成的角，即PBO60，在RtABO中，AB2，OAB30，BOABsin 301，PO面ABCD，OB面ABCD，POOB，考点三 求异面直线所成的角在 RtPOB 中，POBOtan 60 3，【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值 底面菱形的面积 S2 34 222 3.四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD132 3 32.结束放映返回目录第12页 考点突破(2)取AB的中点F，连接E
9、F，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)考点三 求异面直线所成的角在 RtAOB 中，AOABcos 30 3OP，【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值 在 RtPOA 中，PA 6，EF 62.在正ABD 和正PDB 中，DFDE 3，结束放映返回目录第13页 考点突破考点三 求异面直线所成的角【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角
10、线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值 在DEF 中，由余弦定理，得 cosDEFDE2EF2DF22DEEF（3）2622（3）22 3 62643 2 24.即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24.结束放映返回目录第14页 考点突破规律方法 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移 考点三 求异面直线所成的角结束放映返回目录第15页 考点突破考点三 求异面直线所成的角解
11、析(1)法一 如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则 PMAB，且 PM12AB，PNCD，且 PN12CD，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角 则MPN60或MPN120，若MPN60，因为PMAB，所以PMN(或其补角)是AB与MN所成的角 又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.【训练3】(2014潍坊一模)已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且点M，N分别是BC，AD的中点(1)若直线AB与CD所成的角为60，则直线AB和MN所成的角为_ 结束放映返回目录第16页 考点突破考点三 求异面直线所成的角若MPN120，则易知P
12、MN是等腰三角形 所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上直线AB和MN所成的角为60或30.深度思考 求异面直线所成的角常采用“平移直线法”，你是不是用的这种方法？但还可以有一种不错的方法：补形法将该三椎锥放在长方体中，不妨试一试？【训练3】(2014潍坊一模)已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且点M，N分别是BC，AD的中点(1)若直线AB与CD所成的角为60，则直线AB和MN所成的角为_ 结束放映返回目录第17页 考点突破考点三 求异面直线所成的角法二 由ABCD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1-C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MNAA1，
13、即BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角 连接A1B1交AB于O，所以A1B1CD，即AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角 所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性质可得BAA160或30.所以直线AB和MN所成的角为60或30.【训练3】(2014潍坊一模)已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且点M，N分别是BC，AD的中点(1)若直线AB与CD所成的角为60，则直线AB和MN所成的角为_ 结束放映返回目录第18页 考点突破(2)取AC的中点P，连接PM，PN，则 PM/12AB，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角，由于ABCD，所以MPN90.又ABCD，所以PMPN，
14、从而PMN45，即AB与MN所成的角为45.答案(1)60或30(2)45 考点三 求异面直线所成的角【训练3】(2014潍坊一模)已知在三棱锥ABCD中，ABCD，且点M，N分别是BC，AD的中点(2)若直线ABCD，则直线AB与MN所成的角为_ 结束放映返回目录第19页 思想方法课堂小结1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公里3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上结束放映
15、返回目录第20页 2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解思想方法课堂小结结束放映返回目录第21页 1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”易错防范课堂小结3两条异面直线所成角的范围是0，2.2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件 4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 结束放映返回目录第22页（见教辅）
