1、课时作业(六)B第6讲函数的奇偶性与周期性 时间:35分钟分值:80分12011湖北卷 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex,则g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)2函数f(x)x3sinx1的图象()A关于点(1,0)对称 B关于点(0,1)对称C关于点(1,0)对称 D关于点(0,1)对称32011陕西卷 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x),f(x2)f(x),则yf(x)的图象可能是()图K6142010江苏卷 设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数,则实数a的值为_52011永州一中模拟 下列函数中既
2、是奇函数,又在区间1,1上单调递减的是()Af(x)ln Bf(x)|x1|Cf(x)(axax) Df(x)sinx6设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0),则x|f(x2)0()Ax|x2或x4 Bx|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x272011怀化模拟 已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)f(x1),则f(2011)f(2013)的值为()A1 B1C0 D无法计算8关于函数f(x)lg(xR,x0),有下列命题:函数yf(x)的图象关于y轴对称;在区间(,0)上,f(x)是减函数;函数yf(x)的最小值是lg2;在区间(,0)上,f(
3、x)是增函数其中正确的是()A B C D92011长沙周南中学模拟 设f(x)是定义在R上的奇函数,且yf(x)的图象关于直线x对称,则f()A0 B1C1 D210设a为常数,f(x)x24x3,若函数f(xa)为偶函数,则a_;ff(a)_.112011合肥模拟 设f(x)是偶函数,且当x0时是单调函数,则满足f(2x)f的所有x之和为_12(13分)设函数f(x)是奇函数(a,b,c都是整数),且f(1)2,f(2)3,f(x)在(1,)上单调递增(1)求a,b,c的值;(2)当x1时,f(x)0,且f(2)1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断函数f(x)在(0,)上的单调
4、性;(3)求函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值;(4)求不等式f(3x2)f(x)4的解集课时作业(六)B【基础热身】1D解析 因为函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex.又因为f(x)g(x)ex,所以g(x).2B解析 令g(x)f(x)1x3sinx,则g(x)为奇函数,所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称,当x0时,有f(0)10,此时f(0)1,所以对称中心为(0,1)3B解析 由f(x)f(x)可知函数为偶函数,其图象关于y轴对称,可以结合选项排除A、C,再利用f(x2)f(x),可知函数为周期函数,且T2,必满足f(4)f(
5、2),排除D,故只能选B.41解析 设g(x)x,h(x)exaex,因为函数g(x)x是奇函数,则由题意知,函数h(x)exaex为奇函数又函数f(x)的定义域为R,h(0)0,解得a1.【能力提升】5A解析 ysinx与yln为奇函数,而y(axax)为偶函数,y|x1|是非奇非偶函数ysinx在1,1上为增函数故选A.6B解析 f(x)2x4(x0),令f(x)0,得x2.又f(x)为偶函数且f(x2)0,f(|x2|)0,|x2|2,解得x4或x0,x|x0或x47C解析 由题意得g(x)f(x1),又因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)g(x)
6、,f(x)f(x),f(x1)f(x1),f(x)f(x2),f(x)f(x4),f(x)的周期为4,f(2011)f(3)f(1),f(2013)f(1)又f(1)f(1)g(0)0,f(2011)f(2013)0.8C解析 由函数f(x)的定义域为,且f(x)f(x),所以f(x)为偶函数当x0时,f(x)lglglg2,函数f(x)在,上为减函数,在,上为增函数故正确9A解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)0.又因为yf(x)的图象关于直线x对称,所以f0.于是ff0,故选A.1028解析 由题意得f(xa)(xa)24(xa)3x2(2a4)xa24a3,因为f(xa)
7、为偶函数,所以2a40,a2.ff(a)ff(2)f(1)8.118解析 f(x)是偶函数,f(2x)f,f(|2x|)f,又f(x)在(0,)上为单调函数,|2x|,即2x或2x,整理得2x27x10或2x29x10,设方程2x27x10的两根为x1,x2,方程2x29x10的两根为x3,x4.则(x1x2)(x3x4)8.12解答 (1)由f(1)2,得2,由f(2)3,得3.函数f(x)是奇函数,函数f(x)的定义域关于原点对称又函数f(x)的定义域为,则0,c0,于是得f(x),且2,3,3,即0b.又bZ,b1,则a1.a1,b1,c0符合f(x)在(1,)上单调递增(2)由(1)知
8、f(x)x.已知函数f(x)是奇函数,且在(1,)上单调递增,根据奇函数的对称性,可知f(x)在(,1)上单调递增;以下讨论f(x)在区间1,0)上的单调性当1x1x20时,f(x1)f(x2)(x1x2),显然x1x20,0x1x21,10,函数f(x)在1,0)上为减函数综上所述,函数f(x)在(,1)上是增函数,在1,0)上是减函数【难点突破】13解答 (1)令xy1,则f(11)f(1)f(1),得f(1)0;再令xy1,则f(1)(1)f(1)f(1),得f(1)0.对于条件f(xy)f(x)f(y),令y1,则f(x)f(x)f(1),所以f(x)f(x)又函数f(x)的定义域关于
9、原点对称,所以函数f(x)为偶函数(2)任取x1,x2(0,),且x11.又当x1时,f(x)0,f0.又f(x2)ff(x1)ff(x1),函数f(x)在(0,)上是增函数(3)f(4)f(22)f(2)f(2),又f(2)1,f(4)2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间4,0)(0,4上是偶函数且在(0,4上是增函数,函数f(x)在区间4,0)(0,4上的最大值为f(4)f(4)2.(4)f(3x2)f(x)fx(3x2),422f(4)f(4)f(16),原不等式等价于fx(3x2)f(16)又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,)上是增函数,原不等式又等价于|x(3x2)|16,即x(3x2)16或x(3x2)16,解得x2或x,不等式f(3x2)f(x)4的解集为.