1、考纲要求：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)2了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3理解数形结合思想1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的，直线 l 叫做抛物线的距离相等焦点准线2抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：；(2)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：；(3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：；(4)顶点在坐标原点，
2、焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)3抛物线的几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O对称轴(0,0)x=0y=0y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离焦点FFFF离心率e准线方程范围x0，yRx0，yRy0，xR y0，xRp2，0p2，00，p20，p21xp2xp2yp2yp2y22px(p0)y22px(p0)x22py(
3、p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|PF|PF|PF|x0p2x0p2y0p2y0p2自我查验1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y24x 的焦点到准线的距离是 4.()(3)若一抛物线过点 P(2,3)，其标准方程可写为 y22px(p0)()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2
4、2ay(a0)的通径长为 2a.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x60 的距离小 2，则 M 点的轨迹方程为_答案：y216x3若抛物线 yax2 的准线方程是 y2，则 a 的值是_解析：抛物线 yax2 可化为 x21ay，14a2，a18.答案：184抛物线 y28x 的焦点到直线 x 3y0 的距离是_答案：15斜率为 1 的直线经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，则线段 AB 的长为_答案：8典题 1 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_听前试做
5、 如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为 4.答案：4探究 1 若将本例中的 B 点坐标改为(3,4)，试求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为 B，F 两点间的距离，|PB|PF|BF|42221642 5.即|PB|PF|的最小值为 2 5.探究 2 若将本例中的“B(3,2)”改为：已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 xy50，在抛物线上有一动点 P 到 y轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，求 d1
6、d2 的最小值解：由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)点 P 到 y 轴的距离 d1|PF|1，所以 d1d2d2|PF|1.易知 d2|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2|PF|的最小值为|15|12123 2，所以 d1d2 的最小值为 3 21.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径典题 2(1)(2015陕西高考)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0
7、)C(0，1)D(0,1)(2)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x听前试做(1)抛物线 y22px(p0)的准线为 xp2且过点(1,1)，故p21，解得 p2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)(2)由已知得抛物线的焦点 Fp2，0，设点 A(0,2)，点 M(x0，y0)，则p2，2，y202p，y02.由已知得，0，即 y208y0160，因而 y04，M8p，4.由|MF|5，得8pp2
8、2165.又 p0，解得 p2 或 p8.答案：(1)B(2)C(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定 p 值即可(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性若抛物线 y24mx 的准线经过椭圆x27 y231 的左焦点，则实数 m 的值为_解析：抛物线 y24mx 的准线方程为 x1m，椭圆x27 y231的左焦点坐标为(2,0)，由题意知1m2，所以实数 m12.答案：12典
9、题 3 已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.证明：设直线 AB 的方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp20.由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yBp2yA.BCx 轴，且 C 在准线 xp2上，Cp2，yB.则 kOC yBp22pyAyAxAkOA.直线 AC 经过原点 O.典题 4(2015浙江高考)如图，已知抛物线 C1：y14x2，圆 C2：x2(y1)
10、21，过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点(1)求点 A，B 的坐标；(2)求PAB 的面积听前试做(1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为 yk(xt)由ykxt，y14x2消去 y，整理得 x24kx4kt0，由于直线 PA 与抛物线相切，得 kt.因此，点 A 的坐标为(2t，t2)设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)由题意知：点 B，O 关于直线 PD 对称，故y02x02t1，x0ty00，解得x0 2t1t2，y0 2t21t2，因此，点 B 的坐标为2t
11、1t2，2t21t2.(2)由(1)知|AP|t 1t2，直线 PA 的方程为 txyt20.点 B 到直线 PA 的距离是 dt21t2.设PAB 的面积为 S(t)，则 S(t)12|AP|dt32.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解已知点
12、A(2,1)在抛物线 E：x2ay 上，直线 l1：ykx1(kR，且 k0)与抛物线 E 相交于 B，C 两点，直线 AB，AC 分别交直线 l2：y1 于点 S，T.(1)求 a 的值；(2)若|ST|2 5，求直线 l1 的方程解：(1)点 A(2,1)在抛物线 E：x2ay 上，a4.(2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x24y.设点 B，C 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意得 x214y1，x224y2，由ykx1，x24y消去 y，得 x24kx40，解得 x1,24k4 k2122k2 k21.x1x24k，x1x24.直线 AB 的斜率 kABy11x12x
13、214 1x12x124，故直线 AB 的方程为 y1x124(x2)令 y1，得 x28x12(由题意知 x120)，点 S 的坐标为28x12，1.同理可得点 T 的坐标为28x22，1|ST|28x1228x228x1x2x12x22 8x1x2x1x22x1x248x1x28kx1x2k.|ST|2 5，|x1x2|2 5|k|.由|x1x2|2(x1x2)24x1x2，得 20k216k216，解得 k2或 k2，直线 l1 的方程为 y2x1 或 y2x1.方法技巧1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出 p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程2抛物线的离心率 e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化3设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下几个结论：(1)x1x2p24，y1y2p2；(2)弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 的倾斜角)；(3)1|FA|1|FB|2p；(4)以 AF 为直径的圆与 y 轴相切；(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切易错防范 直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式
