1、第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点)1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养.2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升学生逻辑推理和数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1平面向量数量积的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积ab_ 向量垂直 ab_x1x2y1y20 x1x2y1y22
2、.向量模的公式设a(x1，y1)，则|a|.3两点间的距离公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.x21y21x2x12y2y124向量的夹角公式设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b 夹角为，则cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.思考：已知向量a(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示 设与a共线的单位向量为a0，则a0 1|a|ax|a|，y|a|xx2y2，yx2y2，其中正号、负号分别表示与a同向和反向 易知b(y，x)和a(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为 y
3、x2y2，xx2y2，其中正、负号表示不同的方向1若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于()A3 B3C.53D53A abx63，x3，故选A.2已知a(2，1)，b(2,3)，则ab_，|ab|_.1 25 ab22(1)31，ab(4,2)，|ab|42222 5.3已知向量a(1,3)，b(2，m)，若ab，则m_.23 因为ab，所以ab1(2)3m0，解得m23.4已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为_6365 因为 ab3541263，|a|32425，|b|5212213，所以 a 与 b 夹角的余弦值为 ab|a|b|635136365.合 作
4、 探 究 释 疑 难 平面向量数量积的坐标运算【例 1】(1)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若ABAF 2，则AEBF的值是_(2)已知 a 与 b 同向，b(1,2)，ab10.求 a 的坐标；若 c(2，1)，求 a(bc)及(ab)c.思路点拨：(1)(1)2 以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0,2)，C(2，2)，E(2，1)可设F(x,2)，因为ABAF(2，0)(x,2)2x 2，所以x1，所以AEBF(2，1)(1 2，2)2.(2)解 设ab(，2)(0)，则有ab41
5、0，2，a(2,4)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)数量积运算的途径及注意点 1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.跟进训练1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1 B0C1D2C a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.2在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边
6、形，AB(1，2)，AD(2,1)，则AD AC()A5B4C3D2A 由AC AB AD(1，2)(2,1)(3，1)，得AD AC(2,1)(3，1)5.向量模的坐标表示【例2】(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|2ab|等于()A4B5C3 5D4 5(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解(1)D 由ab得y40，y4，b(2，4)，2ab(4,8)，|2ab|4 5.故选D.(2)解 aAB(2,1)(2,4)(4，3)
7、，|a|42325.与a平行的单位向量是 a|a|15(4，3)，即坐标为45，35 或45，35.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，mn34.又|e|1，m2n21.解得m35，n45或m35，n45，e35，45 或e35，45.求向量的模的两种基本策略 1字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.2坐标表示下的运算：若ax，y，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|跟进训练3已知平面向量a(3,5)，b(2,1)(1)求a2b及其模的大小；(2)若ca(ab)b，求|c|.解(1)a2b(3,5)2(2,1)(7,3)，|a2
8、b|7232 58.(2)ab(3,5)(2,1)3(2)511，ca(ab)b(3,5)(2,1)(1,6)，|c|162 37.向量的夹角与垂直问题 探究问题1设a，b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，那么cos 如何用坐标表示？提示：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.2已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于？提示：由已知得ab(1x,4)a(ab)，a(ab)0.a(1,2)，1x80，x9.【例3】(1)已知向量a(2,1)，b(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A(2，)B
9、.2，12 12，C(，2)D(2,2)(2)已知在ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标思路点拨：(1)可利用a，b的夹角为锐角ab0，ab求解(2)设出点D的坐标，利用BD 与BC 共线，AD BC 列方程组求解点D的坐标(1)B 当 a 与 b 共线时，2k10，k12，此时 a，b 方向相同，夹角为 0，所以要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 ab0 且 a，b 不同向由 ab2k0 得 k2，且 k12，即实数 k 的取值范围是2，1212，选 B.(2)解 设点D的坐标为(x，y)，则 AD(x2，y1)，BC(6，3)，B
10、D(x3，y2)点D在直线BC上，即BD 与BC共线，存在实数，使BD BC，即(x3，y2)(6，3)，x36，y23，x32(y2)，即x2y10.又ADBC，AD BC0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0，即2xy30.由可得x1，y1，即D点坐标为(1,1)，AD(1,2)，|AD|1222 5，综上，|AD|5，D(1,1)1将本例(1)中的条件“a(2,1)”改为“a(2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围解 当a与b共线时，2k10，k12，此时a与b方向相反，夹角为180，所以要使a与b的夹角为钝角，则有ab0，且a与b不反向 由ab2k0得k
11、2.由a与b不反向得k12，所以k的取值范围是，12 12，2.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“4”，求k的值解 cos4 ab|a|b|2k51k2，即 22 2k51k2，整理得3k28k30，解得k13或3.1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|x2y2计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式 cos x1x2y1y2x21y21 x22y22求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及 cos 求 的值2涉及非零向量 a，b 垂直问题时，一般借助 ababx1x2y1y20 来解决课 堂 小 结 提
12、素 养 1平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏
13、了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，下列命题错误的是()Aabx1x2y1y20Bab0a与b的夹角为钝角C若ab0，则a与b不垂直D|AB|表示A，B两点之间的距离B 当a与b共线且反向时，ab0，故B不正确2已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A.6 B.4C.3D.2B ab31(1)(2)5，|a|3212 10，|b|1222 5，设a与b的夹角为，则cos ab|a|b|510 5 22.又0，4.3设a(2,4)，b(1,1)，若b(amb)，则实数m
14、_.3 amb(2m,4m)，b(amb)，(2m)1(4m)10，得m3.4已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|4162 5.综上，|ab|2或2 5.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
