1、1.2空间向量基本定理 最新课标1.了解空间向量基本定理及意义；2掌握空间向量的线性运算；3会用空间向量基本定理证明线线、线面关系.教材要点要点空间向量基本定理1空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得：p_.xaybzc2基底与基向量：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把_叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底a，b，c方法技巧(1)若 px ay bz c，则
2、 x ay bz c叫做向量 a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说 p可以由 a，b，c线性表示方法技巧(2)对于基底 a，b，c，除了应知道 a，b，c不共面外，还应明确以下三点：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0；空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念答疑解惑教材 P11探究证明：设向量 a，b，c 不共面(如图所示)过点O 作OA a，OB b，OC c
3、，OP p，过点 P 作直线 PP平行于 OC，交平面 OAB 于点 P，在平面 OAB 内，过 P作直线PAOB，PBOA，分别与直线 OA，OB 相交于点 A，B，于是存在三个实数 x，y，z，使OA x O Axa，OB yOB yb，PP zOC zc，OP OA OB PP xOA yOB zOC，即OP pxaybzc.如果 pxaybzcxaybzc，那么可推出 xx，yy，zz，这也证明了表达式是唯一的基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a
4、12a23a3.()(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示()(4)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的()2已知a，b，c是空间的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()AaBbCa2b Da2c解析：A、B、C都与向量p、q共面，只有D与p、q不共面，故选D.答案：D3O、A、B、C为空间四个点，又OA，OB，OC 为空间的一个基底，则()AO、A、B、C四点不共线BO、A、B、C四点共面，但不共线CO、A、B、C四点中任意三点不共线DO、A、B、C四点不共面答案：D题型一空间向量基本定理的理解1(多选)设 xab，ybc，zca，且a，
5、b，c是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组是()Aa，b，xBx，y，zCb，c，zDx，y，abc解析：如图所示，令aAB，bAA1，cAD，则xAB1，yAD1，zAC，abc AC1.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面故选BCD.答案：BCD2已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且OAe12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC能否作为空间的一个基底解析：假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使OA xOB yOC 成立，e1
6、2e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3y3x1，xy2，2xy1，此方程组无解即不存在实数x，y使得OA xOB yOC，所以OA，OB，OC 不共面所以OA，OB，OC 能作为空间的一个基底方法技巧1如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底2假设 abc，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底题型二空间向量的表示例 1(1)如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的
7、中点，点 G 在线段 MN 上，且MG 2GN，现用基向量OA，OB，OC 表示向量OG，设OG xOA yOB zOC，则 x，y，z 的值分别是()Ax13，y13，z13Bz13，y13，z16Cx13，y16，z13Dx16，y13，z13解析：(1)连接ON.M，N分别是对边OA，BC的中点，OM 12OA，ON 12(OB OC)，OG OM MG OM 23MN OM 23(ON OM)13OM 23ON 1312OA 2312(OB OC)16OA 13OB 13OC，x16，yz13.故选D.答案：(1)D(2)在平行六面体ABCDABCD中，设AB a，AD b，AAc，P
8、是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q是CA上的点，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量：AP；AM；AN；AQ.解析：(2)连接AC、ADAP12(ACAA)12(ABAD AA)12(abc)AM 12(ACAD)12(AB2AD AA)12ab12c.AN12(AC AD)12(ABAD AA)(ADAA)12(AB2AD 2AA)12abc.AQ ACCQ AC45(AA AC)15AB15AD 45AA15a15b45c.答案：(2)见解析方法技巧用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转
9、化为基向量的“代数和”变式训练 1(1)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AC 与 BD 交于点 M，设ABa，AD b，AA1 c，则B1M()A12a12bcB.12a12bcC.12a12bcD12a12bc解析：(1)B1M B1B BM c12BD c12(ba)12a12bc.故选D.答案：(1)D(2)已知四面体ABCD中，ABa2c，CD 5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF_.解析：(2)如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则EFGF GE12CD 12BA 12CD 12AB 12(5a6b8c)12(a2c)3a3b5c.答案：(
10、2)3a3b5c题型三空间向量基本定理的应用探究 1证明空间平行关系例 2在长方体 OAEBO1A1E1B1 中，OA3，OB4，OO12，点 P 在棱 AA1 上，且 AP2PA1，点 S 在棱 BB1 上，且 SB12BS，点 Q、R 分别是棱 O1B1，AE 的中点，求证：PQRS.证明：设OA a，OB b，OO1 c，则PQ PA1 A1O1 O1Q 13AA1 A1O1 12O1B113OO1 OA 12OB a12b13cRSREEBBS12AEEB13BB112OB OA 13OO1 a12b13cPQ RS RPQ PQRS.方法技巧用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，
11、通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明探究 2证明空间垂直关系例 3如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是BB1，D1B1 的中点求证：EF平面 B1AC.证明：设ABa，AD c，AA1 b，连接BD，则EFEB1 B1F 12(BB1 B1D1)12(AA1 BD)12(AA1 AD AB)12(abc)，AB1 ABAA1 ab，EFAB1 12(abc)(ab)12(b2a2cacb)12(|b|2|a|200)0，EFAB1，即EFAB1.同理可证EFB1C.又AB1B1CB1，EF平面B1AC.方法技巧利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直
12、线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.探究 3求空间角例 4已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心(1)求异面直线 AA1 与 BC 的夹角；(2)求 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值分析：将向量AB，AC，AA1 作为一组基向量，再考虑用转化思想求解.对于1，可转化为求向量AA1 与BC 的夹角；对于2，作出AA1 在底面内的射影 AO，则所求角即为向量OA1 与AB1 的夹角的余角.证明：设O是A1在底面ABC内的射影，选AB，AC，AA1 作为基向量由已知可得AB，AC，AA1 两两间的夹
13、角均为60，设棱长均为a.(1)AA1 BCAA1(ACAB)AA1 ACAA1 AB|AA1|AC|cos 60|AA1|AB|cos 6012a212a20.所以AA1，BC90，所以异面直线AA1与BC的夹角为90.(2)易知平面ABC的一个法向量为OA1，且OA1 AA1 13AB 13AC，AB1 ABAA1，所以OA1 AB1 23a2，易求得|OA1|63 a，|AB1|3a.所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为|cos AB1，OA1|OA1 AB1|OA1|AB1|23.方法技巧基向量法求空间角的基本思路是：将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角、余角)，再构造基
14、向量并借助向量的运算求出角变式训练 2如图，在平行六面体 ABCDABCD中，E，F，G 分别是 AD，DD，DC的中点，请选择恰当的基向量解决下列问题：(1)证明：平面 EFG平面 ABC；(2)若该平行六面体 ABCDABCD为一正方体，证明：BD平面 EFG.证明：取一组基向量(基底)：AA，AB，AD，(1)因为EG ED DG 12AD 12AB，所以AC ABAD 2EG，所以ACEG，所以EGAC.因为FG FD DG 12AA 12AB，AB ABAA 2FG，所以FGAB，又EGFGG，ACABA，所以由两平面平行的判定定理知，平面EFG平面ABC.(2)BD EG(ABAD
15、 AA)12AD 12AB12ABAD 12AB 212AD 212ABAD 12AD AA 12AA AB12AB 212AD 212AD AA 12AA AB，BD FG(ABAD AA)12AA 12AB12AB AA 12AB 212AD AA 12AD AB 12AA212AA AB12AB 212AD AA 12AD AB12AA2.因为平行六面体ABCDABCD为正方体，所以AB 2AD 2AA2，AD AA AD ABAA AB0.所以BD EG 0，BD FG 0，即BDEG，BDFG.又EGFGG，所以BD平面EFG.易错辨析对基底理解不清致误例 5在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点若A1B1 a，A1D1 b，A1A c，试用基底a，b，c表示向量C1M.解析：如图，连接A1M，A1C1，则C1M A1M A1C1 A1A AM(A1B1 A1D1)A1A 12(A1B1 A1D1)(A1B1 A1D1)A1A 12(A1B1 A1D1)12a12bc.【易错警示】易错原因纠错心得本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能会得到如下错解：C1MA1M A1C1 A1A AM(A1B1A1D1)cAM ab事实上，AM 仍需用基底表示.基底可以表示空间内任一向量，用基底表示向量时，最后结果应含基向量.谢谢 观 看
