1、成都市龙泉驿区高2015届诊断性考试数学（理科）试题说明： 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式：如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率是 棱柱的体
2、积公式 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 棱锥的体积公式 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 第卷 （选择题部分 共50分）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D.2某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（ ）A、660 B、720 C、780 D、8003如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影
3、部分的面积是 A B C D 4. 已知，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D.5某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A B C D6下列命题的说法错误的是（ ）A命题“若错误!未找到引用源。 则 ”的逆否命题为：“若, 则错误!未找到引用源。”B若错误!未找到引用源。为假命题，则错误!未找到引用源。均为假命题C“”是“错误!未找到引用源。”的充分不必要条件D对于命题错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 则错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。7某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方
4、案种数为（ ）.A12 B36 C72 D1088函数的图象大致是（ ）9定义为个正数的“均倒数”若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( ) A B C D10设长方形ABCD边长分别是AD=1，AB=2（如图所示），点P在BCD内部和边界上运动，设（都是实数），则的取值范围是（ ） A1，2 B1，3 C2，3 D0，2第卷 （非选择题部分 共100分）注意事项：1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上. 2在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数满足，则_.12在的
5、展开式中，含项的系数是_.13. 平面向量，若，则与的夹角为 14.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为_.15已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意都成立；当，且时，都有给出下列四个命题：； 直线是函数图象的一条对称轴；函数在上为增函数； 函数在上有335个零点其中正确命题的是_.三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）已知函数（1）设，求的值域；（2）在ABC中，角，所对的边分别为，已知c=1，且A
6、BC的面积为，求边a和b的长17（本小题满分12分）某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润.（1）求上表中a，b的值.（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用3期付款”的概率P（A）（3）求Y的分布列及数学期望EY.18 （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方
7、形，PD面ABCD，E是PD上一点.（1）求证：ACBE.（2）若PD=AD=1，且的余弦值为，求三棱锥E-PBC的体积.（3）在（2）的条件下，求二面角B-AC-E的余弦值。19（本小题满分12分） 在数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足的前项和.20.（本小题满分13分）已知椭圆过点，且长轴长等于4.（1）求椭圆C的方程；（2）是椭圆C的两个焦点，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求的值.21. （本小题满分14分）已知（1）若的单调减区间是,求实数的值;（2）若对于定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；
8、（3）设有两个极值点, 且若恒成立,求的最大值参考答案：一选择题1.【答案】B【解析】先利用集合的补集的定义求出集合的补集，即；再利用集合的交集的定义求出.故应选B.2.【答案】B【解析】由已知，抽样比为，所以有故选3.【答案】D【解析】设阴影部分的面积为，圆的面积，由几何概型的概率计算公式得，得.4.【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：不等式与不等关系.5.【答案】A【解析】由程序框图可知，输出的函数满足为奇函数，并且存在零点，对于为奇函数，并且有零点，和为偶函数，而函数不存在零点，故答案为A6.【答案】B【解析】因为命题“若错误!未找到引用源。 则 ”的逆否命题为：“若, 则错误!
9、未找到引用源。”所以选项A中命题正确，不符合题意；因为由可以得到成立，反过来，由不能得到，所以“”是“错误!未找到引用源。”的充分不必要条件因此选项C中的命题正确，不符合题意； 因为由命题错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 可得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。所以选项D中的命题正确，不符合题意； 因为由错误!未找到引用源。为假命题，则错误!未找到引用源。中至少一个为假命题所以选项B符合题意故选B7.【答案】B.【解析】先从4个消防队中选出2个作为一个整体，有种选法；再将三个整体进行全排列，有种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为.8.【答案】A【解析】试题分析：当时，
10、得或，因此函数图象与轴正半轴的交点有2个，当，因此图象在轴下方，故符合图象为A9.【答案】C【解析】设数列的前n项和为，则由题意可得，10.【答案】B【解析】设，点，则满足，有题图知，所以，；因为，所以，即，因此，此不等式组表示区域如图阴影部分由图可知，当直线过点时，取得最小值为1；当直线过点时，取得最大值为3，所以，故选.二填空题11.【答案】【解析】，12.【答案】15【解析】展开式中通项，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，展开式中x2项的系数为15，故在的展开式中，含项的系数为1513.【答案】【解析】由得即，由得，解得，所以，向量与的夹角的余弦，因此夹角为14.【答案】30 m
11、 【解析】由图知，由正弦定理得，得在直角三角形中，15.【答案】【解析】令，得，又是偶函数，故，正确；因为，所以是周期为6的周期函数，因为是一条对称轴，故是函数图象的一条对称轴，正确；函数在上的单调性与的单调性相同，因为函数在单调递增，故在单调递减，错误；在每个周期内有一个零点，区间 分别有一个零点，共有335个周期，在区间内有一个零点为2013，故零点共有336个，错误，综上所述，正确的命题为三解答题16.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）=，则值域为 （2）因为，由（1）知因为ABC的面积为，所以，于是 在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b由余弦定理得，所以 由可得或17.【答案
12、】（1）；（2）；（3）分布列略，.【解析】（1） （2）记分期付款的期数为，则：， ，故所求概率（3）Y可能取值为1，1.5，2（万元） ，Y的分布列为：Y11.52P0.40.40.2Y的数学期望（万元）18.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，因为是正方形，所以，又面，得，又面，面，所以面，因为面，故得证；（2）设，则 又 中，由余弦定理求得：，即为中点，所以所以（3） 连结BD交于点，连结，由正方形可得由（）知为中点，则，在正方形中，19.【答案】（1）； （2）见解析； （3）.【解析】（1）,数列是首项为，公比为的等比数列， .（2）因为，所以.因为，公差，所以数
13、列是首项，公差的等差数列.（3）由（1）知，, 所以 由-得： 20.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，椭圆的长轴长，得，因为点在椭圆上，所以得，所以椭圆的方程为.（2）由直线l与圆O相切，得，即，设，由消去y，整理得由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以.所以因为，所以.又因为，所以，得k的值为.21.【答案】（1）3; （2）; （3）【解析】（1）由题意得,则要使的单调减区间是则,解得 ; 另一方面当时,由解得,即的单调减区间是综上所述 （4分）（2）由题意得,设,则 （6分）在上是增函数,且时,当时;当时,在内是减函数,在内是增函数 , 即 （8分）（3）由题意得,则方程有两个不相等的实根,且又,且 （10分）设, 则, （12分）在内是增函数, 即,所以m的最大值为 （14分）
