1、高考资源网() 您身边的高考专家第三节二项式定理最新考纲考情分析核心素养1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.主要通过二项式定理考查展开式中某项的系数、特定项,多在选择题、填空题中考查,分值为5分.数学运算知识梳理1二项式定理(1)二项式定理:(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*);(2)通项公式:Tk1Cankbk,它表示第k1项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数为C,C,C.2二项式系数的性质常用结论1二项展开式的项数为(n1)项,在排列形式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减小1次直到零次,同时字母b按
2、照升幂排列,次数由零次逐项增加1次直到n次2若二项展开式的通项为Tr1g(r)xh(r)(r0,1,2,n),g(r)0,则有以下常见结论:(1)h(r)0Tr1是常数项(2)h(r)是非负整数Tr1是整式项(3)h(r)是负整数Tr1是分式项(4)h(r)是整数Tr1是有理项(5)h(r)是分数Tr1是无理项基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关()(3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包
3、括符号等,与该项的二项式系数不同()答案:(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修23P31T4改编)(xy)n的二项展开式中,第m项的系数是()ACBCCCD(1)m1C答案:D3(选修23P35练习A1(3)改编)的值为()A2B4C2 019D2 0182 019答案:B三、易错自纠4(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为()A80B40C40D80解析:选D(2xy)6的展开式的通项公式为Tr1C(2x)6r(y)r,当r2时,T3240x4y2;当r3时,T4160x3y3,故x4y3的系数为24016080,故选D5(2019福州市高三期末测试)设n为正整数,的展开式中
4、仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为_解析:依题意得,n8,所以展开式的通项Tr1Cx8rCx84r(2)r,令84r0,解得r2,所以展开式中的常数项为T3C(2)2112.答案:1126若(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n_解析:(13x)n的展开式中含有x5的项为C(3x)5C35x5,展开式中含x6的项为C36x6.由两项的系数相等,得C35C36,解得n7.答案:7|题组突破|1(2019年全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12B16C20D24解析:选A(1x)4的二项展开式的通项为Tk1Cxk(k0,1,2,3,
5、4),故(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为C2C12.故选A2(2020届贵阳摸底)的展开式中的常数项为()A15B20C15D20解析:选C的展开式的通项Tr1C()6rC(1)rxr,由r0得,r2,所以展开式中的常数项为T3C(1)215.故选C3.的展开式的常数项为160,则实数a_解析:解法一:的展开式的通项Tr1C(ax)6rCa6rx62r,令62r0,得r3,所以Ca63160,解得a2.解法二:,要得到常数项,则需ax与的个数相同,各为3个,所以从6个因式中选择3个ax的系数,即Ca3160,解得a2.答案:2名师点津求二项展开式中的项的方法求二项展开式的特定项问题
6、,实质是考查通项Tk1Cankbk的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k0,1,2,n)【例】(1)(2019届山东烟台模拟)已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为()A5B40C20D10(2)(2019届河北邯郸二模)在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为()A15B45C135D405(3)(2019届东北三校联考)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|()A0B1C32D1解析(1)由的展开式的各项系数和为243,得3n243,解得n5,Tr1C(x
7、3)5r2rCx154r,令154r7,得r2,展开式中x7的系数为22C40.故选B(2)在的展开式中,令x为1,得各项系数和为4n,又展开式的二项式系数和为2n,各项系数的和与二项式系数的和之比为64,64,解得n6,该二项式的展开式的通项Tr1C3rx6r,令6r3,得r2,故展开式中x3的系数为C32135,故选C(3)由(1x)5的展开式的通项Tr1C(x)rC(1)rxr,可知a1,a3,a5都小于0,所以|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5.在(1x)5的展开式中令x1,可得a0a1a2a3a4a50.故选A答案(1)B(2)C(3)A名师点津赋值法的应
8、用二项式定理给出的是一个恒等式,对于x,y的一切值都成立因此,可将x,y设定为一些特殊的值在使用赋值法时,令x,y等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,1或0”,有时也取其他值如:(1)形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cR)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x1即可(2)形如(axby)n(a,bR)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令xy1即可|跟踪训练|1(2019届江西新余一中模拟)在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且AB72,则展开式中的常数项为()A6B9C12D18解析:选B在二项式的展开式中,令x1得各项系数之和为4n,A4n.
9、该二项展开式的二项式系数之和为2n,B2n,4n2n72,解得n3.的展开式的通项Tr1C()3r3rCx,令0,得r1,故展开式的常数项为T23C9,故选B2(2019届福建省高三质检)已知(x2)(2x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6,则a0a2a4()A123B91C120D152解析:选D解法一:因为(2x1)5的展开式的通项Tr1C(2x)5r(1)r(r0,1,2,3,4,5),所以a0a2a42C20(1)51C21(1)42C22(1)31C23(1)22C24(1)127080152,故选D解法二:令x1,得a0a1a2a3a4a5a63;令x1,得a
10、0a1a2a3a4a5a6243.,得a0a2a4a6120.又a612532,所以a0a2a4152,故选D【例】(2019届广东广州普通高中毕业班测试)在中国南北朝时期的著作孙子算经中,对同余除法有较深的研究设a,b,m(m0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为ab(b mod m)若aCC2C22C220,ab(b mod 10),则b的值可以是()A2 011B2 012C2 013D2 014解析因为a(12)20320910(101)10C1010C109C101,所以a被10除得的余数为1,结合选项知2 011被10除得的余数是1,故选A答案A名师点津求解这类问题,关键是弄清题意,结合二项式定理转化求解|跟踪训练|设复数x(i是虚数单位),则CxCx2Cx3Cx2 019()AiBiC1iDi1解析:选D因为x1i,所以CxCx2Cx3Cx2 019(1x)2 0191(11i)2 0191i2 0191i1.- 6 - 版权所有高考资源网