1、第3课时等差数列的概念 教学过程一、 问题情境情境1:某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,.情境2:第23届到第28届奥运会举行的年份依次为1984,1988,1992,1996,2000,2004.情境3:某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话费0.2元,以后每分钟收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次为0.2,0.2+0.1,0.2+0.12,0.2+0.13,.情境4:如果1年期储蓄的月利率为1.65,那么将10000元分别存1个月,2个月,3个月,12个月,所得的本利
2、和依次为10000+16.5,10000+16.52,10000+16.512.二、 数学建构(一) 生成概念问题1上面这些数列有什么特点?(结合数列知识,引导学生说出:后一项与前一项之差为定值)问题2怎样用数学语言刻画数列中后一项与前一项之差为定值?(引导学生说出:每一项与它的前一项的差等于同一个常数)问题3我们是否能说“等差数列从第二项起,每一项减去它的前一项都是一个常数”?(引导学生理解:都必须是同一个常数,即d应与n无关)问题4你能再举一些等差数列的例子吗?(引导学生自己寻找生活中的实例,帮助学生理解)通过讨论,给出等差数列的定义.一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所
3、得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(二) 理解概念 1. 等差数列的定义可以用数学表达式an-an-1=d(nN,n2)或an+1-an=d(nN,n1)来表示. 2. 当d0时,数列是单调递增数列;当d0时,数列是单调递减数列;当d=0时,数列是常数数列.(三) 巩固概念问题5请说出上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是多少.(上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是2,4,0.1,16.5)三、 数学运用【例1】判断下列数列是否为等差数列:(1) 0,-3,-6,-9,-12;(2) 1,-1,1,-1,1,-1;(3)
4、 6,6,6,6,6;(4) 6,5,3,1,-1,-3.3(见学生用书课堂本P21)处理建议引导学生从定义思考,可以让学生个别回答,也可以是集体回答,对于不成立的情形,要求学生说明不成立的理由.规范板书解(1) 是首项为0,公差为-3的等差数列.(2) 不是等差数列,因为-1-1=-2,1-(-1)=2,它们不等于同一个常数.(3) 是首项为6,公差为0的等差数列.(4) 不是等差数列,因为5-6=-1,而从第三项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2.题后反思判断一个数列是否是等差数列,关键看它是否符合定义.变式判断数列m,m+n,m+2n,2m+n是否是等差数列.处理建议学生讨论、
5、判断,并且由学生给出理由.规范板书解(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n,(2m+n)-(m+2n)=m-n.若m=2n,则该数列是等差数列;若m2n,则该数列不是等差数列.【例2】已知数列的通项公式为an=2n+5,求证:数列是等差数列.4(见学生用书课堂本P21)处理建议 围绕等差数列的定义,关键是用什么方法表示“从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数”; 先由学生讨论,尝试运用等差数列定义进行证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误.规范板书证明因为an=2n+5,所以an-1=2(n-1)+5=2n+3(n2).所以an-
6、an-1=(2n+5)-(2n+3)=2.所以数列是等差数列.题后反思根据定义证明(或判断)等差数列时,要紧扣定义:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-an-1=d(nN,n2)或an+1-an=d(nN,n1).变式若数列a1,a2,an,为等差数列,证明:数列a2,a4,a6,a2n,是等差数列.处理建议先由学生讨论,再让学生尝试模仿例2进行证明.规范板书证明设等差数列a1,a2,an的公差为d,即an-an-1=d(nN*,n2),则a2n-a2(n-1)=2d,所以数列a2,a4,a6,a2n,是等差数列.【例3】(教材P36例2)求出下列等差数列中的未知项:(1
7、) 3,a,5;(2) 3,b,c,-9.5(见学生用书课堂本P22)处理建议求值题,需要列出等量关系式,那么怎样利用等差数列的定义建立关系式是关键.规范板书解(1) 根据题意得a-3=5-a,解得a=4.(2) 根据题意得解得题后反思 根据等差数列的定义列出关系式,然后进行解方程或方程组; 第(1)题中三项成等差数列,称a是3与5的等差中项,即若a,A,b成等差数列,则称A是a与b的等差中项,那么有2A=a+b.变式求2和16的等差中项.规范板书解设A是2和16的等差中项,则2A=18,所以A=9.四、 课堂练习 1. 判断下列数列是否为等差数列:(1) -2,-2,-2,-2,-2;(2)
8、 ,;(3) 0,2,0,2,0,2;(4) -2,0,2,4,6;(5) 8,13,18,23,28.解(1) 是;(2) 不是;(3) 不是;(4) 是;(5) 是. 2. 已知a是与a+的等差中项,则a=2.提示由题意得2a=+,解得a=2. 3. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:(1) (),6,13,();(2) 1,(),();(3) 21,(),(),3.解(1) -1,20;(2) 2-1,3-2;(3) 15,9. 4. 若数列a1,a2,an-1,an是等差数列,则数列an,an-1,a2,a1是等差数列吗?为什么?解数列an,an-1,a2,a1是等差数列,它的首项为an,公差为数列a1,a2,an-1,an的公差的相反数.五、 课堂小结 1. 等差数列的概念,利用定义作简单的判定和证明. 2. 等差中项的概念.
