1、第一章 三角函数 1 数列 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(易混点).通过画正弦函数的图象，“五点法”作图及图象应用，提升学生的直观想象素养.自 主 预 习 探 新 知 1正弦曲线正弦函数ysin x，xR的图象叫正弦曲线2正弦函数图象的画法(1)几何法：利用单位圆中正弦线画出ysin x，x0,2的图象；将图象向左、右平行移动(每次个单
2、位长度)2(2)五点法：画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点，2，1，_，32，1，用光滑的曲线连接；将所得图象向左、右平行移动(每次个单位长度)(0,0)(，0)(2，0)2思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动2的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？提示：依据是诱导公式(一)：sin(2k)sin(kZ)，或者说终边相同的角的正弦线相同3余弦曲线余弦函数ycos x，xR的图象叫余弦曲线4余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向个单位长度即可(2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时，所取的五个关键点分别为，_，_，再用光滑
3、的曲线连接左平移2(0,1)(，1)(2，1)2，032，0思考：ycos x(xR)的图象可由ysin x(xR)的图象平移得到的原因是什么？提示 因为cos xsinx2，所以ysin x(xR)的图象向左平移2个单位可得ycos x(xR)的图象1用“五点法”作函数y2sin x1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A0，2，32，2 B0，4，2，34，C0，2，3，4D0，6，3，2，23A 根据“五点法”作图，x的取值为0，2，32，2.2函数 ysin x，x2，32 的简图是()D 函数 ysin x 与 ysin x 的图象关于 x 轴对称，故选 D.3请补充完整下面
4、用“五点法”作出ysin x(0 x2)的图象时的列表x02 32 2 sin x 1 0 0；.0 1 用“五点法”作ysin x(0 x2)的图象的五个关键点为(0,0)，2，1，(，0)，32，1，(2，0)故为，为0，为1.4函数ycos x，x0,2的图象与直线y12的交点有个2 由图象可知：函数 ycos x，x0,2的图象与直线 y12有两个交点合 作 探 究 释 疑 难 正弦函数、余弦函数图象的初步认识【例 1】(1)下列叙述正确的是()ysin x，x0,2的图象关于点 P(，0)成中心对称；ycos x，x0,2的图象关于直线 x 成轴对称；正、余弦函数的图象不超过直线 y
5、1 和 y1 所夹的范围A0 B1 个 C2 个 D3 个(2)下列函数图象相同的是()Af(x)sin x 与 g(x)sin(x)Bf(x)sinx2 与 g(x)sin2xCf(x)sin x 与 g(x)sin(x)Df(x)sin(2x)与 g(x)sin x(1)D(2)D(1)分别画出函数 ysin x，x0,2和 ycos x，x0,2的图象，由图象(略)观察可知均正确(2)A 中 g(x)sin x；B 中，f(x)cos x，g(x)cos x；C 中 g(x)sin x；D 中 f(x)sin x，故选 D.解决正、余弦函数图象的注意点,对于正、余弦函数的图象问题，要画出
6、正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.跟进训练1关于三角函数的图象，有下列说法：ysin x1.1 的图象与 x 轴有无限多个公共点；ycos(x)与 ycos|x|的图象相同；y|sin x|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称；ycos x 与 ycos(x)的图象关于 y 轴对称其中正确的序号是 对，ycos(x)cos x，ycos|x|cos x，故其图象相同；对，ycos(x)cos x，故其图象关于 y 轴对称；作图(略)可知均不正确用“五点法”作三角函数的图象【例 2】用“五点法”作出下列函数的简图(1)y1sin x
7、(0 x2)；(2)y1cos x(0 x2)思 路 点 拨：列表：让x的值依次取0，2，32，2 描点用平滑曲线连接 解(1)取值列表如下：x0 2 322 sin x0 1 0 1 0 1sin x 1 0 121 描点连线，如图所示.#(2)取值列表如下：x02322 cos x10101 1cos x 0 1 2 1 0 描点连线，如图所示 用“五点法”画函数 yAsin xb(A0)或 yAcos xb(A0)在0,2上简图的步骤：(1)列表：x02322 sin x(或cos x)0(或 1)1(或 0)0(或1)1(或 0)0(或 1)yb(或 Ab)Ab(或b)b(或Ab)Ab
8、(或b)b(或 Ab)(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，2，y2，(，y3)，32，y4，(2，y5)，这里的 yi(i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数 yAsin xb(yAcos xb)(A0)的图象 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x 轴、y 轴上单位长度要统一跟进训练2用“五点法”画出函数 y12sin x，x0,2上的图象解 取值列表如下：x02322 sin x01010 12sin x1232121212 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)正弦、余弦函数图象的应用
9、 探究问题 1解三角不等式 sin xa(或 cos xxa)一般有几种方法？提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决2如何处理方程 f(x)g(x)的根的个数问题？提示 在同一坐标中，分别画出 yf(x)和 yg(x)的图象，观察交点个数，如求 sin xx 的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出 ysin x，yx 图象(略)可知在 x0,1内，sin xx 没有交点，当x1 时不会相交，所以方程只有一个实根为 0.【例 3】(1)函数 y 2sin x1的定义域为(2)在同一坐标系中，作函数 ysin x 和 ylg x 的图象，根据图象判
10、断出方程 sin xlg x 的解的个数思路点拨：(1)列出不等式 画出函数图象写出解集(2)画出ysin x和ylg x的图象找准关键点10，1(1)x62kx56 2k，kZ 由2sin x10得sin x12，画出ysin x的图象和直线y12.可知sin x12的解集为 x|62kx56 2k，kZ.(2)解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，xR的图象 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示 由图象可知方程sin xlg x的解有3个1本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？解 由2cos x10得c
11、os x12，画出ycos x的图象和直线y12.观察图象可知cos x12的解集是 x2k3x2k3，kZ.2把本例(2)中两函数改为“y x，ycos x”，方程“sin xlg x”改为“xcos x”，应如何解答？解 y x中x的取值范围是0，)分别作出y x，ycos x的图象，如图 由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，所以方程 xcos x只有唯一一个根1用三角函数的图象解sin xa(或cos xa)的方法(1)作出ya，ysin x(或ycos x)的图象(2)确定sin xa(或cos xa)的x值(3)确定sin xa(或cos xa)的解集2利用三角函数线解sin x
12、a(或cos xa)的方法(1)找出使sin xa(或cos xa)的两个x值的终边所在的位置(2)根据变化趋势，确定不等式的解集课 堂 小 结 提 素 养 1“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点2作函数yAsin xb的图象的步骤1对于余弦函数ycos x的图象，有以下三项描述：向左向右无限延伸；与x轴有无数多个交点；与ysin x的图象形状一样，只是位置不同其中正确
13、的有()A0个 B1个C2个D3个D 根据正余弦函数图象可知，正确2函数ycos x与函数ycos x的图象()A关于直线x1对称B关于原点对称C关于x轴对称D关于y轴对称C 由解析式可知ycos x的图象过点(a，b)，则ycos x的图象必过点(a，b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称3若方程sin x4m1在x0,2上有解，则实数m的取值范围是12，0 因为x0,2时，1sin x1，方程有解可转化为14m11，解得12m0.4用“五点法”画出函数y2sin x，x0,2上的图象解(1)列表：x0 2 322 2sin x 0 2 0 2 0(2)描点作图，如下：点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
