1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 3 讲 圆的方程 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36，由，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8
2、y0.考点一 圆的方程的求法解析(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P，Q两点的坐标分别代入得 2D4EF20，3DEF10.【例1】(1)经过点P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_(2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 可用待定系数法可用几何法结束放映返回目录第4页 考点突破即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，考点一 圆的方程的求法(2)法一 设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可
3、 设圆心坐标为(a，a)，则|a（a）|2|a（a）4|2，【例1】(1)经过点P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_(2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 可用待定系数法可用几何法半径 r 22 2，故圆C的方程为(x1)2(y1)22.深度思考 第(2)小题常规解法有两种：一是待定系数法；二是几何法，作为选择题的解法也可以采用验证解答结束放映返回目录第5页 考点突破圆心是直线xy0被这两条平行线所截线段的中点，
4、直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0，0)，与直线xy40的交点坐标是(2，2)，故所求圆的圆心坐标是(1，1)，所求圆C的方程是(x1)2(y1)22.考点一 圆的方程的求法法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 d 422 2；【例1】(1)经过点P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_(2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 可用待定系数法可用几何法结束放映返回目录第6页 考
5、点突破考点一 圆的方程的求法法三 作为选择题也可以验证解答圆心在xy0上，排除选项C，D，【例1】(1)经过点P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_(2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 可用待定系数法可用几何法答案(1)x2y22x4y80或x2y26x8y0 (2)B 再验证选项 A，B 中圆心到两直线的距离是否等于半径 2 即可 结束放映返回目录第7页 考点突破规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的
6、方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 考点一 圆的方程的求法结束放映返回目录第8页 考点突破解析(1)法一 由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立，解得x3，y0，所以圆心坐标为(3，0)，半径 r(43)2(10)2 2，所以圆C的方程为(x3)2y22.考点一 圆的方程的求法【训练1】(1)过
7、点A(4，1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_结束放映返回目录第9页 考点突破法二 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故(4a)2(1b)2r2，(2a)2(1b)2r2，又b1a21，故所求圆的方程为(x3)2y22.考点一 圆的方程的求法解得 a3，b0，r 2，【训练1】(1)过点A(4，1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_结束放映返回目录第10页 考点突破(2)曲线yx26x1与坐标轴的交点为(0，1)，(32 2，0)则有 32(t1)2(2 2)2t2，所以圆的方程为(x3)2(y1
8、)29.答案(1)(x3)2y22(2)(x3)2(y1)29 考点一 圆的方程的求法则圆的半径为 32（t1）23，【训练1】(2)在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上则圆C的方程为_ 故可设圆的圆心坐标为(3，t)，解得t1，结束放映返回目录第11页 考点突破考点二 与圆有关的最值问题【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2 的最大值和最小值表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.此时|2k
9、0|k21 3，解得 k 3(如图 1)解 原方程可化为(x2)2y23，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，所以yx的最大值为 3，最小值为 3.结束放映返回目录第12页 考点突破考点二 与圆有关的最值问题【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2 的最大值和最小值此时|20b|2 3，解得 b2 6(如图 2)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，结束放映返回目录第13页 考点
10、突破考点二 与圆有关的最值问题【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2 的最大值和最小值又圆心到原点的距离为(20)2(00)22，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)结束放映返回目录第14页 考点突破考点二 与圆有关的最值问题规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想
11、，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2 的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题结束放映返回目录第15页 考点突破解析 圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为C(1，1)，半径为r1，根据对称性可知，【训练 2】(2015西昌模拟)设 P 为直线 3x4y30 上的动点，过点 P 作圆 C：x2y22x2y10 的两条切线，切点分别为A，B，则四边形 PACB 的面积的最小值为_四边形 PACB 的面积为 2SAPC2
12、12|PA|r|PA|PC|2r2，所以四边形 PACB 面积的最小值为|PC|2minr2 41 3.答案 C考点二 与圆有关的最值问题要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x4y110的距离 d|3411|32（4）2105 2.结束放映返回目录第16页 考点突破考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程 解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)因为P点在圆x2y24
13、上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.结束放映返回目录第17页 考点突破规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关
14、系式等 考点三 与圆有关的轨迹问题结束放映返回目录第18页 考点突破解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为x2，y2线段 MN 的中点坐标为x032，y042.考点三 与圆有关的轨迹问题故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.【训练3】设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹 由于平行四边形的对角线互相平分，故(x3)2(y4)24.但应除去两点95，125 和215，285又N(x3，y4)在圆上，因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，(点P在直线OM上时的情况)结束放映返回目录第19页 1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据条件恰当选择圆的方程形式，进而确定其中的三个参数 2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算 思想方法课堂小结结束放映返回目录第20页 1求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 易错防范课堂小结2求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线 结束放映返回目录第21页（见教辅）
