1、第一章 三角函数 1 数列 1.1.2 弧度制 学 习 目 标1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系2理解“弧度的角”的定义，能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数(重点、难点)3了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系(易错点)核 心 素 养 1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽象素养2在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1度量角的两种单位制(1)角度制定义：用作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的 .1360(2)弧度制定义：以作为单位来度量角的单位制1弧度的角：长度等于的
2、弧所对的圆心角半径长弧度度2弧度数的计算思考：比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关3角度制与弧度制的换算4一些特殊角与弧度数的对应关系度03045 _ 90 120 135 150 _ _ 360 弧度_32325.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为 R，弧长为 l，(02)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l.(2)扇形面积公式：S.60180R0 64233456212lR12R22701下列说法中错误的是()A1弧度的角是周角的 1360B弧度制是十进制，而角度制是六十进制C1弧度的角大于1度的角D根据弧度的定义，
3、180一定等于弧度A A错误，1弧度的角是周角的 12.B、C、D都正确2(1)75 化为角度是_(2)105的弧度数是_(1)252(2)712(1)75 75 180 252；(2)105105 180 rad712 rad.3半径为2，圆心角为6的扇形的面积是_3 由已知得S扇126223.4274 是第_象限的角三 274 854，54 是第三象限角，274 也是第三象限角合 作 探 究 释 疑 难 角度与弧度的互化与应用【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72；(2)300；(3)2；(4)29.解(1)7272 18025；(2)300300 18053；(3)2218
4、0360；(4)29 29 18040.角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式 rad180是关键；2方法：度数 180弧度数；弧度数180度数；3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.跟进训练1(1)将15730化成弧度为_；(2)将115 化为度是_(1)78 rad(2)396(1)15730157.53152 180 rad78 rad.(2)115 115 180396.2在2，4中，与72角终边相同的角是_(用弧度表示)125 因为终边与72角相同的角为72k360(kZ)当k1时，432125，所以在2，4中与72角终边相同的角是125.用弧度制表示角【例2
5、】(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02，并判断它是第几象限角？(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合思路点拨：(1)把角度换成弧度 再转化为2kkZ形式利用终边相同的角判断出象限 (2)写出终边为OA的锐角写出终边落在AOy内范围加kkZ表示角的集合 解(1)1 4801 480 180749 10169，其中0169 2，因为169 是第四象限角，所以1 480是第四象限角(2)因为306 rad,21076 rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为k 6，kZ，而终边在y轴上的角为k 2，kZ，从而终边落在阴影部分内的角的集
6、合为k6k2，kZ.1弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用.跟进训练3下列与94 的终边相同的角的表达式中，正确的是()A2k45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk54(kZ)C A，B中弧度与角度混用，不正确 9424，所以94与4终边相同31536045，所以315也与45终边相同故选C.4用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边
7、界)内的角的集合解 306，15056.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是6k56 k，kZ.弧长公式与扇形面积公式的应用 探究问题1用公式|lr求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负2在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错【例3】(1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_；(2)扇形OAB的面积是4 cm2，它
8、的周长是8 cm，求扇形的半径和圆心角思路点拨：(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程，再解方程求EAD的弧度数(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数(1)22 设AB1，EAD，S扇形ADES阴影BCD，由题意可得121212124，解得22.(2)解 设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为 l cm，半径为 r cm，依题意有l2r8，12lr4，由，得 r2，l82r4，lr2.故所求扇形的半径为 2，圆心角为 2 rad.1(变条件)将本例(2)中的条件“8”改为“10”，“4”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度
9、数解 设扇形圆心角的弧度数为(02)，弧长为l，半径为r，依题意有l2r10，12lr4.由得l102r，代入得r25r40，解得r11，r24.当r1时，l8(cm)，此时，8 rad2 rad(舍去)当r4时，l2(cm)，此时，2412 rad.2(变结论)将本例(2)中的条件“面积是4 cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.解 设弧长为l，半径为r，由已知l2r8，所以l82r，|lr82rr，从而S12|r21282rrr2r24r(r2)24，当r2时，S取最大值为4，这时圆心角lr82rr2，可得弧长ABr224.1弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式
10、和扇形的面积公式：l|r，S 12|r2和S 12lr.(这里必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式2通过弧度制的引入，使弧长公式及扇形面积公式均有了弧度制的新形式，体现了核心素养下两种公式的比较及弧度的渗透 角度制下lnr180，Snr2360 弧度制下 l|r，S12|r212lr课 堂 小 结 提 素 养 1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数
11、等于这个实数的角)与它对应2弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S 12 lr 12|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，(02)是扇形的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是为弧度1下列说法正确的是()A1弧度就是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小D 利用弧度的概念判断，易知D正确2下列转化结果错误的是()A60化成弧度是3B103 化成度是600C150化成弧度是76D.12化成度是15C 对于A,6060 1803；对于B，103 103 180600；对于C，150150 18056；对于D，12 11218015.故选C.3若把570写成2k(kZ,02)的形式，则_.56 570196 456.4求半径为 cm，圆心角为120的扇形的弧长及面积解 因为r，120 18023，所以lr223 cm，S12lr33 cm2.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
