1、12.2 排 列(二)题型1 数字排列问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例 1 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数分析：奇、偶数问题是选特殊位置：对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特殊位置，因此“0”、首位和末位要同时考虑正面情况较复杂时，可用间接法求解 解析：(1)法一从特殊位置入手(直接法)分三步完成第一步：先填个位，有 A13种填法；第二步：再填十万位，有 A14种填法；第三步：填其他位，有 A44种填法 故共有 A13A14A44288 个六位
2、奇数 法二从特殊元素入手(直接法)0 不在两端有 A14种排法，从 1，3，5 中任选一个排在个位有 A13种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有 A44种排法，故共有 A14A13A44288 个六位奇数 学习目标预习导学典例精析栏目链接法三(间接法)6 个数字的全排列有 A66个，0，2，4 在个位上的排列数为 3A55个，1，3，5 在个位上，0在十万位上的排列数有 3A44个，故对应的六位奇数的排列数为 A663A553A44288(个)(2)法一(间接法)0 在十万位和 5 在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况 故符合题意的六位数
3、共有 A662A55A44504(个)法二直接法(个位不排 5 时，排 0 不排 0 分类计算)个位不排 5，有 A15种排法，但十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类 第一类：当个位排 0 时，有 A55个 第二类：当个位不排 0 时，有 A14A14A44个 故符合题意的六位数共有 A55A14A14A44504(个)学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)直接法 当千位上排 1，3 时，有 A12A13A24个 当千位上排 2 时，有 A12A24个 当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A13个，形如 41的有 A12A13个，形如 43的只有 4 3
4、10 和 4 302 这两个数，故共有 A12A13A24A12A242A13A12A132110(个)规律方法：(1)第一问中第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位(2)第二问中易忽视 0 不能排首位而得 A15A55600 个的错误结论学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练 1用 1，2，3，4，5，6 组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1，2 相邻，这样的六位数的个数是_解析：可分为三步来完成这件事：第一步，先将 3，5 进行排列，并有 A22种排法；第二步，再将 4，6 插空排列，共有 2
5、A22种排法；第三步，将 1，2 放入 3，5，4，6 形成的空中，共有 A15种排法 由分步乘法计数原理得，共有 A222A22A1540(种)不同的排法 答案：40题型2 排列节目问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻解析：(1)先排唱歌节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排法，所以共有 A22A661440(种)排法(2)先排 3
6、个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2个排唱歌节目，有 A27种插入方法，所以共有 A66A2730 240(种)排法(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个 曲艺节目排列共 A44种排法，再将 3个舞蹈节目插入，共有 A35种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A22种排法，故所求排法共有 A44A35A222 880(种)排法 学习目标预习导学典例精析栏目链接规律方法：(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”(2)对于某些元素“相邻”的排列
7、问题，一般采用“捆绑法”，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列 变式训练 2某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，若：两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为_；两个新节目可以相邻，也可以不相邻，那么不同插法的种数为_解析：因为两个新节目不相邻，且 5 个节目已排成节目单，所以，新增加的两个新节目只需插入到原 5 个节目之间的空隙(包括两端的两个空位)共 6 个位置上，所以，不同的插法有 A2630 种 分两类：第一类是两个新节目不相邻，有 A2630 种方法；第二类是两
8、个新节目相邻，有 6A2212 种，所以，共有不同插法有 301242 种 答案：30 种 42 种题型3 排队问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例 3 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选 5 名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(10)全
9、体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：先分析清楚是无限制条件的排列问题，还是有限制条件的排列问题若是无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算；若是有限制条件的排列问题，则要搞清楚限制条件是对元素还是对位置要求的，再选择是用直接法还是间接法计算解析：(1)无限制条件的排列问题，只要从 7 名同学中任选 5 名排列，即可得共有 NA57765432 520(种)(2)(直接分步法)先考虑甲，有 A13种方案，再考虑其余 6 人全排，故 NA13A662 160(种
10、)(3)(直接分步法)先安排甲、乙，有 A22种方案，再安排其余 5 人全排，故 NA22A55240(种)(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类 第一类：甲在最右端时，有 N1A66，第二类：甲不在最右端时，甲有 A15个位置可选，而乙只有 A15个位置，而其余全排 A55，N2A15A15A55，故 NN1N2A66A15A15A553 720(种)学习目标预习导学典例精析栏目链接法二(间接法)无限制条件的排列数共有 A77，而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有 A66，且甲在左端同时乙在右端的排法有 A55，故 NA772A66A553 720(种)(5)(相邻问题用捆绑法)男生
11、必须站在一起，是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法由分步计数原理知，共有 A33A44A22288(种)(6)(捆绑法)把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排，故 NA33A55720(种)(7)(不相邻问题用插空法)先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空隙中安排，有 A35种排法，故 NA44A351 440(种)(8)对比(7)，让女生插空：NA33A44144(种)(9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排，故 N(A25A2
12、2)A44960(种)学习目标预习导学典例精析栏目链接(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故 NA77A222 520(种)(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的 1A33，NA77A33840(种)(12)直接分步完成，共有 A37A445 040(种)规律方法：(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排
13、列数，从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法)(2)特别地，关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题，应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法”；不相邻问题，一般用“插空法”；“定序”问题，一般用排除法：NAnnAmm.学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练 3(2013陕西宝鸡中学高二期末)记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B)A1440 种 B960 种 C720 种 D480 种解析：先将 5 名志愿者排好，有 A55种排法，2 位老人只能排在 5 名志愿者之间的 4 个空隙中，先将 2 位老人排好，有 A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有 4 种插法 共有不同排法，4A22A55960 种
