1、利用基本不等式的转化求最值【例1】已知x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值及此时x、y的值8228018282()()10+8210+2=18822821126.12618.xyxyxyyxxyxyxyxyyxxyyxxyxyyxxyxyxyxy因为 ，所以 ，所以 当且仅当，即 时，等号成立又，所以，故当，时，的最【小值是解析】本题是一个二元条件最值问题，看似平淡，但思想方法深刻、解法灵活多样，本解法是其中之一对于xy与xy在同一等式中出现的问题往往可以利用基本不等式“”将它们联系起来进行放缩，以此来求取值范围是非常有效的2xyxy【变式练习 1】设 x0，y0，x2y221，则 x
2、 1y2的最大值为 3 24 .【解法 1】因为 x0，y0，x2y221所以 x 1y2 x21y22x21y22 2x21y222 2x2y221223 24，当且仅当 x 32，y 22(即 x21y22)时，x 1y2取得最大值3 24.【解法 2】令xcosy 2sin(02)则 x 1y2cos 12sin22cos212sin212122cos212sin2223 24，当 2cos212sin2，即 6时，x 32，y 22 时，x 1y2取得最大值3 24.注意基本不等式的适用条件【例 2】函数 ym21m21的值域为_【解析】ym21m21(m21)1m211211，所以值
3、域为1，)本题是利用基本不等式求最值问题注意”一正、二定、三相等”三个要素缺一不可不正时添负号，不定时配凑，不等时可以拆分或者利用导数求单调性来解决【变式练习 2】(1)求函数 yx 1x1(x1)的值域；(2)求函数 ysin2x 4sin2x的最小值【解析】(1)当 x1 时，y(x1)1x11213，当 x2 时取等号，当 x1 时，y(1x)11x1211，当 x0 时取等号所以函数的值域为(，13，)(2)令 sin2xt，(0t1)，则有 yt4t，可求得 y 在(0,2上是减函数，所以 yt4t在 00，y0，且 4xy1.(1)求1x1y的最小值；(2)求 log2xlog2y
4、 的最大值【解析】(1)因为1x1y(1x1y)(4xy)yx4xy 52yx4xy 59，当且仅当yx4xy，即 x16，y13时取等号所以1x1y的最小值为 9.(2)log2xlog2ylog2(xy)log2(144xy)log214(4xy2)2log2 1164，当且仅当 4xy，即 x18，y12时取等号所以 log2xlog2y 的最大值为4.本节内容是不等式的基础知识，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法等)；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式来解决
