1、复数的加减法的运算i 1 42i|.ABCABCDABCDBD在复平面内点、对应的复数分别为、，由按逆时针顺序作，求【例1】1i.(42i)132i.(1i)(32i)23i|23i|13.BA OA OBBABC OC OBBCBD BA BCBDBD因为，所以向量对应的复数为 因为，所以向量对应的复数为 又因为，所以向量对应的复数为 【，所以解析】122212()()i|.Z Za bZ Zab 由本题可知复数的加减法的几何意义，即向量的和 差 分别对应复数的和 差 若向量对应的复数为 ，则【变式练习1】已知复平面上正方形ABCD的三个顶点是A(1,2)、B(2,1)、C(1，2)，求它的
2、第四个顶点D对应的复数()(i)(12i)(1)(2)i(12i)(2i)13i.(1)(2)i13i112.2312i.D xyAD OD OAxyxyBC OCOBAD BCxyxxyyD 设，则对应的复数为 ，对应的复数为 因为，所以 ，所以，解得所以顶点 对应的复数为【解析】利用|z1z2|的几何意义解题【例2】已知复数z满足2|zi|4，试说明复数z在复平面内所对应的点的轨迹【解析】因为|zi|的几何意义是动点Z到定点i的距离，所以满足2|zi|4的动点Z的轨迹是以i为圆心，2为半径的圆外(含边界)和以i为圆心，4为半径的圆内(含边界)之间的圆环(含边界)，如右图阴影部分所示1212
3、2121|ZZZ ZOZOZzz 在复平面，的距离是复几何意的基由复足的件，合复平面的形分析、解，是形合的典型内两点间数义础数满条结内图来决问题数结 22|3i|1.12|1|1|zzzzz若复数 满足求：的最大值和最小值；的最大【变式练习2】值和最小值|3i|1(31)1()()zzMC表示 对应的点在以，为圆心，为半径的圆的内部【解析】包括边界 如图(1)|z|表示圆上动点M到原点的距离，所以|z|max3，|z|min1.(2)因为2(MA2MB2)AB2(2MO)2，所以|z1|2|z1|222MO2，而MO最大值为3，最小值为1.所以|z1|2|z1|2最大值和最小值分别为20和4.
4、复数的模及几何意义【例3】若复数z满足|z2|z2|8，求|z2|的最大值和最小值【解析】在复平面内满足|z2|z2|8的复数z对应的点的轨迹是以点(2,0)和(2,0)为 焦 点，8 为 长 轴 长 的 椭圆|z2|表示椭圆上的点到焦点(2,0)的距离椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值因此，当z4时，|z2|有最大值6；当z4时，|z2|有最小值2.此题若令zxyi，问题的条件和结 论 都 是 较 复 杂 的 式 子，不 好 处理从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题【变式练习3】已知|z|1，设复数uz22，求|u|的最大值与最小值22222222222
5、2222222minmax()i()12(i)2(2)2i2444498.01111013i.zxy xyxyuzxyxyxyuxyx yxyxyxxxuzxuz R代数法 设 ，则 ，所以 ，故因为，所以当 时方法：，此时；当 时，此时】【解析方法2：(不等式法)因为|z|22|z22|z|22，把|z|1代入，得1|z22|3，故|u|min1，|u|max3.1.(2011江苏高考最后一卷)复数12i34i在复平面上对应的点位于第 三 象限【解析】将12i34i化简为12i34i25510i251525i，则该复数对应的点位于第三象限2.满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上对应的点
6、的轨迹是 圆.3.平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4i,34i,35i，则点D对应的复数是 _.435342248i.Dziiizz 设点 对应的复数为，则，解得【解析】4.设复数z满足z(23i)64i，则z的模为 _.6423|64|36162.|23|49iziizi，【所以】解析5.|4i|4i|6 2|2|zzzz设复数 满足，求的最大值22222222|4i|4i|6 21218i()|2|2218982 2202818.8429|2|.82zzxyzzxy xyzxyxxxxxxz R由的几何意义知 对应的点在椭圆 上设 、，所以故当 时，【有最大值解析】复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义转化条件和结论，有效利用数形结合的思想，可取得事半功倍的效果
