1、第九章解析几何第七节抛物线A级基础过关|固根基|1.(2019届沈阳质检)抛物线x24y的焦点到准线的距离为()A1B2C4D8解析：选B由x22px的焦点到准线的距离为p，得x24y中的焦点到准线的距离为2，故选B2(2019届广东七校第二次联考)已知抛物线y224ax(a0)上的点M(3，y0)到其焦点的距离是5，则该抛物线的方程为()Ay28xBy212xCy216xDy220x解析：选A抛物线y224ax(a0)的准线方程为x6a，点M(3，y0)到其焦点的距离是5，根据抛物线的定义可知，点M(3，y0)到准线的距离也为5，即36a5，a，y28x，故选A3(2019届石家庄市质检)已
2、知抛物线y24x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于()A12B13C1D1解析：选A解法一：由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，M(2，2)，直线l的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，点N的横坐标为.抛物线y24x的准线方程为x1，|NF|，|MF|3，|NF|MF|12，故选A解法二：由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，M(2，2)，直线l的方程为y2(x1)由得y2y40，解得y2或y，点N的纵坐标为.过点M作MMx轴，垂足为M，过点N作NNx轴，垂足为N，则MMFNNF，|NF|MF|
3、NN|MM|212，故选A解法三：M(2，2)是抛物线上的点，且抛物线y24x的准线方程为x1，|MF|3.又1，|NF|，|NF|MF|12，故选A解法四：设直线l的倾斜角为，则|MF|，|NF|，|NF|MF|(1cos )(1cos )，又M(2，2)，F(1，0)，tan 2，cos ，|NF|MF|12，故选A4(2019届江西五校联考)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于点M，若|MN|AB|，则直线l的倾斜角为()A15B30C45D60解析：选B分别过A，B，N作抛物线准线
4、的垂线，垂足分别为A，B，N，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，所以|NN|(|AA|BB|)|AB|.因为|MN|AB|，所以|NN|MN|，即在MNN中，cosMNN，所以MNN60，即直线MN的倾斜角为120.又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30，故选B5(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C：y22x，过原点O作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为()A2B3CD4解析：选C设直线AB的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线AB的方程
5、代入抛物线的方程得y22my2t0，4m28t0，所以y1y22m，y1y22t.由题意得OAOB，所以x1x2y1y20，即y1y20，得y1y24，所以2t4，即t2，故直线AB恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2，故选C6(2019届湖南岳阳二模)过抛物线x24y的焦点F作直线，交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|()A5B6C8D10解析：选C过P1作P1M准线l，垂足为M，过P2作P2N准线l，垂足为N，由抛物线定义知|P1F|P1M|y11，|P2F|P2N|y21，|P1P2|P1F|P2F|y1y228，
6、故选C7(2019届江西五校协作体2月联考)已知点A(0，2)，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于()ABC2D4解析：选C过点M向准线作垂线，垂足为P，由抛物线的定义可知，|MF|MP|，因为，所以，所以sinMNP，则tanMNP.又OFAMNP90(O为坐标原点)，所以tanOFA2，则p2，故选C8(2019届沈阳市第一次质量监测)抛物线y26x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为_解析：由y26x，知p3，由抛物线定义得，x1，即x13，代入y26x中，得y18，则|MO|3(O为坐标
7、原点)答案：39(2020届成都摸底)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，|AF|1，则抛物线C的标准方程为_解析：如图，设直线l与x轴交于点D，过点B作BEl于点E，则|DF|p.由抛物线的定义知|BE|BF|.设|BE|BF|m，因为AEBADF，所以，即，所以，所以|AF|.由|AF|1，得1，解得p1，所以抛物线C的标准方程为y22x.答案：y22x10(2019届河北省“五个一名校”高三考试)如果点P1，P2，P3，P10是抛物线y22x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，x10，F是抛物线的焦
8、点，若x1x2x3x105，则|P1F|P2F|P3F|P10F|_解析：由抛物线的定义可知，抛物线y22px(p0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10.答案：1011(2019届昆明市高三诊断测试)过点E(1，0)的直线l与抛物线C：y24x交于A，B两点，F是抛物线C的焦点(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|BF|的值；(2)求|AF|BF|的取值范围解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26.由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，则|AF|BF|x1x228.(2
9、)设直线l的方程为xmy1，由得y24my40.由16m2160，得m21，则y1y24m，y1y24.由抛物线的定义知|AF|x11，|BF|x21，则|AF|BF|(x11)(x21)m2y1y24m2.因为m21，所以|AF|BF|4.故|AF|BF|的取值范围是(4，)12(2019届郑州市第一次质量预测)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N.R为准线上一点(1)若ARFN，求的值；(2)若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系解：由已知，得F(1，0)，设直线
10、l的方程为xmy1，与抛物线y24x联立，得消去x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.由题知M(1，y1)，N(1，y2)，设R(1，yR)(1)ARFN，即，(1x1，yRy1)，(2，y2)，0(1x1)y22(yRy1)(2my1)y22(yRy1)2(y1y2)my1y22yR4m2yR，yR2m，R是MN的中点，.(2)若R是MN的中点，则R(1，2m)，(x11，y12m)(x21，y22m)(my12，y12m)(my22，y22m)(my12)(my22)(y12m)(y22m)(m21)y1y24m244(m21)4m240.
11、，即RARB，点R在以AB为直径的圆E上.B级素养提升|练能力|13.(2019届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若NFR60，则|FR|()A2BC2D3解析：选A如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于H，y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，|FH|2，|PF|PQ|.M，N分别为PQ，PF的中点，MNQF.PQ垂直l于点Q，PQOR.|PQ|PF|，NFR60，PQF为等边三角形，MFPQ.又M为PQ的中点，F为HR的中点，|FR|FH|
12、2.故选A14(2019届郑州市第二次质量预测)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则SAOB()A2BCD3解析：选A由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l：yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线yk(x1)代入y24x，化简整理得k2x2(2k24)xk20，所以x1x22，x1x21，y1y2k(x1x2)2k2k2k，所以AB的中点为，AB的垂直平分线方程为y.由于AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，所以0，化简得k1，即直线A
13、B的方程为y(x1)点O到直线AB的距离d，又|AB|x1x2|8，所以SAOB82，故选A15(2019届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点S(0，3)，SA，SB与圆C：x2y2my0(m0)和抛物线x22py(p0)都相切，切点分别为M，N和A，B，SAON，则点A到抛物线准线的距离为()A4B2C3D3解析：选A连接OM，SM，SN是圆C的切线，|SM|SN|，|OM|ON|.又SAON，SMON，四边形SMON是菱形，MSNMON.连接MN，由切线的性质得SMNMON，则SMN为正三角形，又MN平行于x轴，所以直线SA的斜率ktan 60.设A(x0，y0)，则
14、.又点A在抛物线上，x2py0.由x22py，得y，yx，则x0，由得y03，p2，所以点A到抛物线准线的距离为y04，故选A16(2020届湖北部分重点中学联考)已知点A(0，1)，抛物线C：y2ax(a0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|MN|12，则实数a的值为_解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线定义知|MF|MK|.因为|FM|MN|12，所以|KN|KM|1.又kFN，kFN，所以，解得a.答案：17(2019届昆明市教学质量检测)已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x3y110的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析：如图，设抛物线的准线为m，焦点为F，分别过点P，F作PAm，PMl，FNl，垂足分别为A，M，N.连接PF，因为点P在抛物线上，所以|PA|PF|，所以(d1d2)min(|PF|PM|)min|FN|.点F(1，0)到直线l的距离|FN|3，所以(d1d2)min3.答案：3
