1、第六节幂函数、二次函数授课提示：对应学生用书第26页基础梳理1幂函数(1)定义：一般地，函数yx叫作幂函数，其中底数x是自变量，是常数(2)幂函数的图像比较：2二次函数(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)图像与性质：解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图像定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递增在x上单调递减在x上单调递增在x上单调递减续表解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)奇偶性当b0时为偶函数顶点对称性图像关于直线x成轴对称图形3.巧
2、记幂函数的图像五个幂函数在第一象限内的图像的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即0(1)时的图像是抛物线型(1时的图像是竖直抛物线型，01时的图像是横卧抛物线型)，0时的图像是双曲线型1一个易混点函数yax2bxc，不能盲目认为是二次函数，要注意对a的讨论，a0，a0，a0.2两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是3幂函数yx在第一象限的图像特征(1)1时，图像过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如yx3；(2)01时，图像过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如yx；(3)0时，图像过(1，1
3、)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如yx1.四基自测1(基础点：幂函数定义)已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k()A.B1C.D2答案：C2(易错点：幂函数的单调性)幂函数f(x)x(是有理数)的图像过点，则f(x)的一个单调递减区间是()A0，)B(0，)C(，0 D(，0)答案：B3(易错点：二次函数的单调性)若f(x)x2bxc的递增区间为1，)，则b_答案：24(基础点：分段函数的性质)设函数f(x)，则f(x)f(1)的x的取值范围为_答案：(，0)授课提示：对应学生用书第27页考点一幂函数的图像和性质挖掘1幂函数图像及应用/ 互动探究例1(1)幂函数yf(x)的图像过点(
4、4，2)，则幂函数yf(x)的图像是()解析设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图像过点(4，2)，所以24，解得.所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x1时，其图像在直线yx的上方答案C(2)(2019高考天津卷)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A，B(，C(，1 D，1解析如图，分别画出两函数yf(x)和yxa的图像先研究当0x1时，直线yxa与y2的图像只有一个交点的情况当直线yxa过点B(1，2)时，2a，解得a.所以0a.再研究当x1时，直线yxa与y的图像只有一个交点的情况()相切时，由y，得x2，此时切点
5、为(2，)，则a1.()相交时，由图像可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图像只有一个交点，过点A(1，1)时，1a，解得a.所以a.结合图像可得，所求实数a的取值范围为，1故选D.答案D挖掘2幂函数的性质/ 互动探究例2(1)若a，b，c，则下列正确的是()Aabc BacbCcab Dbca解析因为yx在第一象限内为增函数，所以ac，因为y是减函数，所以cb，所以acb.答案B(2)若log2xlog3ylog5z1，则()A2x3y5z B5z3y2xC3y2x5z D5z2x3y解析设log2xlog3ylog5zt，则t1，x2t，y3t，z5t，因此2x2t1，3y3t1，5
6、z5t1.又t1，t10，由幂函数yxt1的单调性可知5z3y2x.答案B破题技法1.待定系统法求解析式，主要待定yx中的“”值2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数考点二二次函数的图像与性质挖掘1二次函数的单调性/ 互动探究例1(1)函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3，0)B(，3C2，0 D3，0解析当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f
7、(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0答案D(2)若函数f(x)ax2bxc(a0)对于一切实数都有f(2x)f(2x)，则()Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)f(1)解析因为函数f(x)ax2bxc对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，所以函数图像关于x2对称，当a0时，f(2)最小，由2142，得f(1)f(3)f(4)，所以f(2)f(1)f(4)故选A.答案A破题技法研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨
8、论(2)若已知f(x)ax2bxc(a0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)挖掘2二次函数的最值/ 互动探究例2已知函数f(x)x22ax1a在x0，1时，有最大值2，则a的值为_解析函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a0时，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.当0a1时，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.答案1或2破题技法二次函数在(m，n上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动
9、不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论设f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值有如下的分布情况：mnmn，即m，nmn图像最值f(x)maxf(m) f(x)minf(n)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minff(x)maxf(n)，f(x)minf(m)a0的情况，讨论类似其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论：(1)若m，n，则f(x)maxmax ，f(x)minmin ；(2)若m，n，则f(x)maxmax f(m)，f(n)，f(x)minminf(m)，f(n)挖掘
10、3二次函数中恒成立问题/ 互动探究例3(2020太原模拟)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，则实数a的取值范围为_解析法一：当a0时，f(x)a2，由f(x)0，x(1，4)得：或或所以或或所以a1或a1或，即a，当a0时，解得；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，所以不合题意综上可得，实数a的取值范围是a.法二：由f(x)0，即ax22x20，x(1，4)，得a在(1，4)上恒成立令g(x)2，(，1)，g(x)max，所以要f(x)0在(1，4)上恒成立，只要a即可答案破题技法由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路
11、：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.挖掘4与二次函数有关的双变量问题/自主练透例4已知f(x)是定义在2，2上的奇函数，当x(0，2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm.如果对任意x12，2，存在x22，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_解析由题意，在2，2上，易求得函数f(x)的值域为3，3，函数g(x)的值域为m1，m8，问题转化为3，3m1，m8，解得m5，2答案5，2将例2改为“已知函数f(x)x22x1a”在0，a上的最大值记为g(a)，求g(a)并求其最大值解析：f(x)(x1)22a，关于x1对称又x0，a 当a1时，x0，a上为增函数，f(x)maxg(a)a22a1aa2a1，当a1时，则f(x)maxf(1)g(a)2a，g(a)当 a1时，g(a)(a)2，当a1时，g(a)2a1，g(a)的最大值为.
