1、3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程目标定位1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.能正确理解直线方程一般式的含义，会进行直线方程不同形式的转化.自 主 预 习1.两点确定一条直线.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1x2，y1y2的直线方程，叫做直线的两点式方程.2.直线l与x轴交点A(a，0)；与y轴交点B(0，b)，其中a0，b0，则得直线方程1，叫做直线的截距式方程.3.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则.4.在平面直角坐标系中，
2、对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程AxByC0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.5.对于直线AxByC0，当B0时，其斜率为，在y轴上的截距为；当B0时，在x轴上的截距为；当AB0时，在两轴上的截距分别为，.即 时 自 测1.判断题(1)经过任意两点的直线都可以用(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)来表示.()(2)不经过原点的直线都可以用方程1表示.()(3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式或点斜式.()(4)若方程AxByC0表示直线，则AB0.()提示(2)若
3、直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用1表示.(4)方程AxByC0表示直线的条件是A，B不同时为0，若A0，B0，或A0，B0时，方程也表示直线.2.过两点(2，1)和(1，4)的直线方程为()A.yx3 B.yx1C.yx2 D.yx2解析代入两点式得直线方程，整理得yx3.答案A3.若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()A.A0 B.B0C.AB0 D.A2B20解析方程AxByC0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2B20.答案D4.直线3x2y4的截距式方程是_.解析将3x2y4两边同除以4得，1，化成截距式方程为1.答案1类型一直线的两点式方程【例1】 已
4、知A(3，2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式得，即2x5y100.故BC边的方程为2x5y100(0x5).(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0，y03.M，又BC边上的中线经过点A(3，2).由两点式得，即10x11y80.故BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.规律方法(1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线.【训练1
5、】 已知ABC三个顶点坐标A(2，1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程.解A(2，1)，B(2，2)，A、B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x2.A(2，1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为，即xy30.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y60.类型二直线的截距式方程【例2】 求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.解设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a0，b0时，设l的方程为1.点(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线的方程为xy10.若ab，则a7，b7，直线的方程为xy70
6、.当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上知，所求直线l的方程为xy10或xy70或3x4y0.规律方法(1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解.(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.【训练2】 求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.解设直线的两截距都是a，则有当a0时，直线为ykx，将P(2，3)代入得k，l3x2y0；当a0时，直线设为1，即xya，把P(2，3)代入得a5，l：xy5.直线l的方程为3x2y0或xy50.类型三直线的一般式与其他形式的转化(互动探究)【例3】 已知直线l经
7、过点A(5，6)和点B(4，8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.思路探究探究点一两点式方程的适用条件是什么？两点的坐标满足什么条件？提示两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，两点的坐标应满足x1x2且y1y2.探究点二直线AxByC0能化为截距式的条件是什么？提示当A，B，C0时，直线AxByC0能化为截距式.解因为直线l经过点A(5，6)，B(4，8)，所以由两点式，得，整理得2xy160，化为截距式得1，所以直线l的一般式方程为2xy160，截距式方程为1.图形如图所示：规律方法(1)一般式化为斜截式的步骤：移项得ByAxC；当B0时，得斜截式：yx.(2)一般式
8、化为截距式的步骤：方法一：把常数项移到方程右边，得AxByC；当C0时，方程两边同除以C，得1；化为截距式：1.方法二：令x0求直线在y轴上的截距b；令y0求直线在x轴上的截距a；代入截距式方程1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.【训练3】 (1)下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()A.3x4y70 B.4x3y70C.4x3y420 D.3x4y420(2)直线x5y90在x轴上的截距等于()A. B.5 C. D.3解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为的有：B、C两项.又yx14过点(0，14)即直线过第一
9、象限，所以只有B项正确.(2)令y0则x3.答案(1)B(2)D课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方
10、程的逆向应用.3.一般式方程AxByC0(其中A，B不同时为0)的特殊情况特殊直线系数满足的条件垂直x轴B0垂直y轴A0与x，y轴都相交AB0过原点C01.经过P(4，0)，Q(0，3)两点的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，3，所以直线方程为1.答案C2.已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限解析由axbyc，得yx，ab0，直线的斜率k0，bc0，直线在y轴上的截距0.由此可知直线通过第一、三、四象限.答案C3.直线mx3y50经过连接点A(1
11、，2)，B(3，4)的线段的中点，则m_.解析线段AB的中点坐标是(1，1)，代入直线方程得m350，所以m2.答案24.求过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.解若直线过原点，则k，yx，即4x3y0.若直线不过原点，设1，即xya.a3(4)1，xy10.故直线方程为4x3y0或xy10.基 础 过 关1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A.可以写成两点式或截距式B.可以写成两点式或斜截式或点斜式C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式解析由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所
12、以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式.故选B.答案B2.直线1过第一、二、三象限，则()A.a0，b0 B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a0，b0.答案C3.在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A.30 B.60C.150 D.120解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.答案C4.已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x03y0的值等于_.解析AB所在直线方程为1，则1，即4x03y012.答案
13、125.已知直线(a2)x(a22a3)y2a0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为_.解析把(3，0)代入已知方程得：(a2)32a0，a6.直线方程为4x45y120，令x0，得y.答案6.求过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.解设过点P(2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k3)、N.再由12|OM|ON|2k3|，可得24，即4k1224，或4k1224.解得k或k或k，故满足条件的直线有3条.7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程
14、：(1)斜率为，且经过点A(5，3)；(2)过点B(3，0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(1，5)，D(2，1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是3，1.解(1)由点斜式方程得y3(x5)，即xy350.(2)x3，即x30.(3)y4x2，即4xy20.(4)y3，即y30.(5)由两点式方程得，即2xy30.(6)由截距式方程得1，即x3y30.能 力 提 升8.已知ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为()A.2xy80 B.2xy80C
15、.2xy120 D.2xy120解析由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为，即2xy80.答案A9.直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是()解析将l1与l2的方程化为斜截式得：yaxb，ybxa，根据斜率和截距的符号可得选C.答案C10.已知两条直线a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_.解析由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x3y40上，即2x3y40为所求.答案2x3y4011.设直线l的方程为(m2
16、2m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条件分别求m的值.(1)在x轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P(1，1).解(1)直线过点P(1，0)，m22m32m6.解得m3或m1.当m3时不合题意，故m1.(2)由斜率为1，得解得m.(3)直线过定点P(1，1)，则(m22m3)(2m2m1)2m6，解得m或m2.探 究 创 新12.已知直线l：yx1，试求：(1)点P(2，1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：yx2关于直线l对称的直线l2的方程；(3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.解(1)设点P关于直线l的对称点为P(x0，y0)，则线段PP的中点M在直线l上
17、，且PPl.解得即P点的坐标为.(2)法一由得l与l1的交点A(2，0)，在l1上任取一点B(0，2)，设B关于l的对称点B为(x0，y0)，则即即B，l2的斜率为kAB7.l2的方程为y7(x2)，即7xy140.法二直线l1：yx2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1(x，y)一定在直线l1上，反之也成立.由得把(x，y)代入方程yx2并整理，得：7xy140，即直线l2的方程为7xy140.(3)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2(x，y)一定在直线l上，反之也成立.由得将(x1，y1)代入直线l的方程得：x2y40，直线l的方程为x2y40.
