1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 6 讲 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 概要课堂小结结束放映返回目录第2页 判断正误(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(4)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破证明 平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直 以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)
2、，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.xyz结束放映返回目录第4页 考点突破设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.xyz法一 EF(0，1，0)，EG(1，2，1)，
3、则nEF 0，nEG 0，即y0，x2yz0，PB(2，0，2)，PBn0，nPB，令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，PB面EFG，PB平面EFG.结束放映返回目录第5页 考点突破即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.xyz法二 PB(2，0，2)，FE(0，1，0)，FG(1，1，1)设PBsFE tFG，t2，ts0，t2，解得 st2.又FE 与FG 不共线，PB平面EF
4、G，PB平面EFG.PB，FE 与FG 共面结束放映返回目录第6页 考点突破规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算考点一 利用空间向量证明平行问题结束放映返回目录第7页 考点突破证明 如图，连接OP，PAPC，O是AC的中点，POAC，又面PAC面ABC，PO面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，BOAC
5、 所以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(4，0，3)由题意，得G(0，4，0)考点一 利用空间向量证明平行问题【训练1】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；xyz结束放映返回目录第8页 考点突破设n(x，y，z)为面BOE的法向量，则 nOB 0，nOE 0，考点一 利用空间向量证明平行问题
6、【训练1】如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；xyzx0，4y3z0，由FG(4，4，3)，得 nFG 0.令z4，得y3.所以平面BOE的一个法向量n(0，3，4)又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.因为OB(8，0，0)，OE(0，4，3)，结束放映返回目录第9页 考点突破考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】(2015济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上已知BC8,PO4，AO3，
7、OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC 证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)于是AP(0，3，4)，BC(8，0，0)，APBC(0，3，4)(8，0，0)0，所以APBC，即 APBCxyz结束放映返回目录第10页 考点突破考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】(2015济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段AD上已知BC8,PO4，AO3
8、，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，AM 35AP0，95，125，又BA(4，5，0)，BM BA AM 4，165，125，xyz则APBM(0，3，4)4，165，125 0，APBM，即 APBM，又根据(1)的结论知APBC，AP平面BMC，于是AM平面BMC 又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.M结束放映返回目录第11页 考点突破规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的
9、关键(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 考点二 利用空间向量证明垂直问题结束放映返回目录第12页 考点突破证明 由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图 ABAA1 2，考点二 利用空间向量证明垂直问题【训练 2】(2013陕西卷节选)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正
10、方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，ABAA1 2.证明：A1C平面 BB1D1DOAOBOA11，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)由A1B1 AB，易得 B1(1，1，1)A1C(1，0，1)，BD(0，2，0)，BB1(1，0，1)，A1C BD 0，A1C BB1 0，A1CBD，A1CBB1，又BDBB1B，A1C平面BB1D1D xyz结束放映返回目录第13页 考点突破(1)证明 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，
11、C(0，a，0)，考点三 利用空间向量解决探索性问题【例3】在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由 Ea，a2，0，P(0，0，a)，Fa2，a2，a2.EF a2，0，a2，DC(0，a，0)EF DC 0，EF DC，即 EFCD结束放映返回目录第14页 考点突破(2)解 假设存在满足条件的点G，设G(x，0，z)，考点三 利用空间向量解决探索性问题【例3】在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方
12、形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由 则FG xa2，a2，za2，则由FG CB xa2，a2，za2(a，0，0)axa2 0，得 xa2；若使GF平面PCB，由FG CPxa2，a2，za2(0，a，a)a22 aza2 0，得z0.G 点坐标为a2，0，0，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点结束放映返回目录第15页 考点突破规律方法 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结
13、论；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在本题是设出点G的坐标，借助向量运算，判定关于P点的方程是否有解 考点三 利用空间向量解决探索性问题结束放映返回目录第16页 PA2AD2PD2，即PAAD 又PACD，ADCDD，PA平面ABCD(1)证明 PAAD1，PD 2，xyz(2)解 以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E0，23，13，AC(1，1，0)，AE 0，23，13.考点
14、突破考点三 利用空间向量解决探索性问题【训练 3】(2014鞍山二模)如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA1，PD 2，E 为 PD 上一点，PE2ED(1)求证：PA平面 ABCD；(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由结束放映返回目录第17页 设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则nAC 0，nAE 0，即xy0，2yz0，xyz令y1，则n(1，1，2)假设侧棱 PC 上存在一点 F，且CF CP(01)，使得 BF平面 AEC，则BF n0.又BF BC CF(0，
15、1，0)(，)(，1，)，BF n120，12，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点.考点突破考点三 利用空间向量解决探索性问题【训练 3】(2014鞍山二模)如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA1，PD 2，E 为 PD 上一点，PE2ED(1)求证：PA平面 ABCD；(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由结束放映返回目录第18页 1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算
16、，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想 思想方法课堂小结2用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题 结束放映返回目录第19页 1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外 易错防范课堂小结2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.结束放映返回目录第20页（见教辅）
