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2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1学业分层测评11 夹角的计算 WORD版含解析.doc

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资源描述

1、学业分层测评(十一)(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.如图257,在长方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若CMN90,则异面直线AD1与DM的夹角为()图257A30B45C60D90【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设D1C1a,C1B1b,C1Cc.则D1(0,0,0),A(0,b,c),D(0,0,c),C(a,0,c),M,N.则,.CMN90,0.即b2c20,即b2c2.(0,b,c)b2c20.AD1与DM的夹角为90.【答案】D2.如图258,在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()图258

2、A.BC.D【解析】作AO平面BCD于O,则O是BCD的中心,以O为坐标原点,OD为y轴,OA为z轴建立空间直角坐标系,设AB2,则O(0,0,0),A,C,E,cos,.CE与平面BCD的夹角的正弦值为.【答案】B3过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABC,且PAAB,则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为()A75B60C45D30【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),从而(0,1,1),(1,0,0)设平面ABC与平面PC

3、D的法向量分别为n1,n2,取n1(0,0,1)设n2(x,y,z),由n2,n2,可得,可取n2(0,1,1)于是cos n1,n2,所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45.【答案】C4如图259所示,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA平面ABCD,PAADAC,点F为PC中点,则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()图259A.BC.D【解析】设ACBDO,连接OF,以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设PAADAC1,则BD,B,F,C,D.,且为平面BDF的一个法向量由,可得平面BCF的一个法向量n(1,)cosn,s

4、inn,.tann,.【答案】D5P是二面角AB棱上的一点,分别在,平面内引射线PM,PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么与的夹角大小为()【导学号:32550047】A60B70C80D90【解析】设PMa,PNb,作MEAB,NFAB,则因BPMBPN45,故PE,PF.于是()()abcos 60acos 45bcos 450.因为EM,FN分别是,内的与棱AB垂直的两条直线,所以与的夹角就是与的夹角【答案】D二、填空题6若平面的一个法向量为m(3,3,0),直线l的一个方向向量为b(1,1,1),则l与所成角的余弦值为_【解析】平面的法向量为m(3,3,0),直线l的一个方向向

5、量为b(1,1,1)则cos m,b,sin m,b.l与所成角的余弦值为.【答案】7正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_【导学号:32550048】【解析】建立如图坐标系,设AB1,则D,A(0,0,0),F(1,0,0),B(0,1,0),(1,1,0)cos .【答案】8如图2510所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1C与AB夹角的余弦值为_,A1C1与平面BB1C1C夹角为_,平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为_图2510【解析】A1CD是A1C与AB的夹角,cosA1CD;A1C1B1是A1C1与面BC1的

6、夹角,A1C1B145;A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角,A1BA45.【答案】4545三、解答题9.如图2511,在三棱锥SABC中,SABSACACB90,AC2,BC,SB.图2511(1)求证:SCBC;(2)求SC与AB所成角的余弦值【解】(1)证明:如图,取A为原点,垂直于AB的直线为x轴,AB,AS分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有AC2,BC,SB,得B(0,0)、S(0,0,2)、C,.0,SCBC.(2)设SC与AB所成的角为(0,0),4,|4,cos ,即为所求10如图2512,在三棱柱ABOA1B1O1中,OAOB,且OB3,OA4,BB14,D为A1

7、B1的中点P为BB1上一点,且OPBD.图2512求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值【解】以O点为原点,以OB,OA,OO1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意,有O(0,0,0),B(3,0,0),D,B1(3,0,4)设P(3,0,z),则,(3,0,z)BDOP,4z0,解得z.BB1平面AOB,是底面AOB的一个法向量,且(0,0,4)sin POB|cos BPO|.直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.能力提升1平面的一个法向量为n1(4,3,0),平面的一个法向量为n2(0,3,4),则平面与平面夹角的余弦值为()ABC.D以上都不对【解析】cos n1,n2,平面与平面

8、夹角的余弦值为.【答案】B2已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABDC,DAB90,PA底面ABCD,且PAADDC,AB1,则AC与PB所成的角的余弦值为()A.BC.D【解析】以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,1,0),C,P,从而,所以cos ,.【答案】B3正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的投影,P为侧棱SD的中点,且SOOD,则直线BC与平面PAC的夹角是_【解析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系,设ODSOOAOBOCa,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P,则(2a,0,0),(a,a,0

9、)设平面PAC的法向量为n,可求得n(0,1,1),设BC与平面PAC的夹角为,则sin |cos ,n|,30.【答案】304(2014天津高考)如图2513,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,ADDCAP2,AB1,点E为棱PC的中点【导学号:32550049】图2513(1)证明:BEDC;(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角FABP的余弦值【解】依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)(

10、1)证明:(0,1,1),(2,0,0),故0,所以BEDC.(2)(1,2,0),(1,0,2)设n(x,y,z)为平面PBD的法向量,则即不妨令y1,可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cos n,.所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0),(1,0,0)由点F在棱PC上,设,01.故(12,22,2)由BFAC,得0,因此,2(12)2(22)0,解得.即.设n1(x,y,z)为平面FAB的法向量,则即不妨令z1,可得n1(0,3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)则cos n1,n2,易知,二面角FABP是锐角,所以其余弦值为.

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