1、第三章导数及其应用第二节导数的应用第五课时利用导数解决函数的零点问题A级基础过关|固根基|1.若函数f(x)x2aln x(a0)有唯一的零点x0，且mx00，x0)因为函数f(x)有唯一零点x0，所以函数g(x)，h(x)的图象有唯一一个交点，即g(x)，h(x)有唯一公切点(x0，y0)，即由得x2ln x00，令(x)x2ln x0，则(1)30，(2)57ln 20，(e)e20时，易知y1|ln x|与y2ax的图象在区间(0，1)上有一个交点，所以只需要y1|ln x|与y2ax的图象在区间(1，4)上有两个交点即可，此时|ln x|ln x，由ln xax，得a.令h(x)，x(
2、1，4)，则h(x)，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e，4)上单调递减，h(e)，h(1)0，h(4)，所以a，故选D3若函数f(x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为_解析：f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0，故实数a的取值范围为(e2，0)答案：(e2，0)4(2019届广东惠州模拟)已知函数f(x)|xex|m(mR)有三个零点，则实数m的取值范围是_解析：函数f(x)|xex|m(mR)有三个零点，即函数y1|xex|与y2m的图象有三个不同的交点令g(x)xex，则g(x)(1x)ex.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)xex在(，1)上单调递
3、减，在(1，)上单调递增，g(x)在x1时取得极小值，也是最小值，为g(1)且当x时，y0.又当x0时，g(x)0时，g(x)0，函数y|xex|的图象如图所示由图知，当m时，函数y|xex|与ym的图象有三个交点，即函数f(x)|xex|m有三个零点，故实数m的取值范围是.答案：5(2019届福州市高三质检)函数f(x)1x，g(x)1x，若函数F(x)f(x3)g(x4)，且函数F(x)的零点均在a，b(a0，f(x)1x在R上是单调递增函数f(0)10，f(1)0，f(x)1x在区间1，0上存在唯一零点，f(x3)在区间4，3上存在唯一零点，又g(x)1x，g(x)1xx2，g(x)1x
4、x20，g(x)1x在R上是单调递减函数，g(2)0，g(x)1x在区间1，2上存在唯一零点，g(x4)在区间5，6上存在唯一零点，由F(x)f(x3)g(x4)0，得f(x3)0或g(x4)0，故函数F(x)的零点均在4，6内，则ba的最小值为10.答案：106(2020届成都摸底)已知函数f(x)e2x2aex2ax，其中a0.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有唯一零点，求a的值解：(1)当a1时，f(x)e2x2ex2x，f(x)2e2x2ex2，f(0)2e02e022.又f(0)e02e001，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切
5、线方程为y(1)2x，即2xy10.(2)由题意得f(x)2e2x2aex2a2(e2xaexa)令tex(0，)，则g(t)2(t2ata)设t2ata0的解为t1，t2则t1t2a，t1t2a，又a0，函数yg(t)在(0，)上仅有一个零点存在t0(0，)，使得g(t0)0，即存在x0满足t0ex0时，f(x0)0.当t(0，t0)，即x(，x0)时，f(x)0，f(x)在(x0，)上单调递增又当x时，e2x2aex0，2ax，f(x)；当x0时，exx，f(x)e2x2aex2axe2x2aex2aexex(ex4a)，当x时，ex(ex4a)，f(x).函数f(x)有唯一零点时，必有f
6、(x0)e2x02aex02ax00.又e2x0aex0a0，由消去a，得ex02x010.令h(x)ex2x1，h(x)ex20，h(x)单调递增又h(0)0，方程ex02x010有唯一解x0.将x0代入e2x0aex0a0，解得a，当函数f(x)有唯一零点时，a为.B级素养提升|练能力|7.(2020届大同调研)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围解：(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，则kf(1)2.f(1)1，切点坐标为(1，1)所
7、以切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)由题意得，g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.x，令g(x)0，得x1.当x0，g(x)单调递增；当1xe时，g(x)0，g(x)单调递减故g(x)在上有最大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个不同的零点的条件是解得10)，则g(1)0，g(x)1，当x(0，1)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0.令2x2ax10，解得x0(负值舍去)，在(0，x0)上，f(x)0，函数f(x)单调递增，在(x0，)上，f(x)1时，f(1
8、)a10，fln 10，f(2a)ln 2a2a22a12a221时，函数f(x)有两个零点9(2019年全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解：(1)函数f(x)ln x.定义域为(0，1)(1，)；f(x)0，(x0且x1)，f(x)在(0，1)和(1，)上单调递增在(0，1)上取，代入函数，由函数零点的定义得，f0，ff0，f(x)在(0，1)有且仅有一个零点在(1，)上取e，e2代入函数，由函数零点的定义得，又f(e)0，f(e)f(e2)0，f(x)在(1，)上有且仅有一个零点，故f(x)在定义域内有且仅有两个零点(2)证明：若x0是f(x)的一个零点，则有ln x0，由yln x，得y；曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线方程为yln x0(xx0)，即yx1ln x0，即yx，当曲线yex切线斜率为时，切点为，曲线yex的切线在点处的切线方程为y，即yx，故曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线故得证
