1、山东省乳山市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题(每小题5分，共8小题40分)1. 已知向量且与互相垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先表示出与的坐标，再根据与互相垂直，得到计算可得；【详解】解：因为，又因为与互相垂直，所以，解得故选：.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.2. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解.【详解】因为直线可化为当直线垂直时的斜率乘积为1,所以因
2、为经过点由点斜式可知直线方程为 化简可得故选:D【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.3. 在空间四边形中，是的重心，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由是的重心，则,根据向量的加法有，从而可得答案.【详解】由是的重心，则,故选：A4. 圆和圆相交，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出两圆的公共弦方程，则圆心到直线的距离小于半径，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为圆和圆相交，所以减得，即两圆的公共弦方程为，则圆的圆心到公共弦的距离小于半径，解得或，故选：D
3、【点睛】本题考查两圆的位置关系求参数的取值范围，解答的关键是利用两圆方程作差求出公共弦方程，利用点到直线的距离小于半径即可求出参数的取值范围；5. 若直线和直线平行，则（ ）A. -2B. -2或3C. 3D. 不存在【答案】C【解析】直线和直线平行，解得：经检验：两直线重合，两直线平行，故选C6. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线离心率的定义可得，结合，可求得，则根据渐近线的定义可求出渐近线方程.【详解】双曲线的离心率为，则，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.7. 已知两点，点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距
4、离最大值为（ ）A. B. C. 6D. 【答案】B【解析】【分析】先求出直线AB的方程，然后结合图形，将点到直线的的最大距离转化为求与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的最大距离，再利用两平行线间的距离求出即可【详解】由两点A（-1，0），B（0，1），则直线AB的方程为y=x+1，由图可知，直线y=x+m（m0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大联立方程得， 整理得25x2+32mx+16m2-144=0由于直线y=x+m和椭圆相切，则=（32m）2-425（16m2-144）=0，解得m= -5或m=5（舍去）由于y=x+1与直线y=x-5的距离为 则点P到直线AB距离的最大值为
5、 ，故选B.【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系有关的最值问题，涉及了根据两点求直线方程，两平行直线间的距离公式；椭圆中求最值的方法有两类:函数法和数形结合法，本题采用数形结合法，关键是理解与直线AB平行且与椭圆相切的直线所经过的切点到直线AB的距离.最大或最小.8. 已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F1，确定PF1PF，|PF1|=b，|PF|=2ab，即可求得椭圆的离心率【详解】设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则圆心坐标为，半径为r=|F1F|=
6、3|FC|PF1QC，|PF1|=b|PF|=2ab线段PF与圆（其中c2=a2b2）相切于点Q，CQPFPF1PFb2+（2ab）2=4c2b2+（2ab）2=4（a2b2）故选A【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).二、多选题(每小题5分，共4小题20分)9. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ）A. 若两圆外切，则B.
7、若两圆公共弦所在的直线方程为，则C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则D. 若两圆有三条公切线，则【答案】ABC【解析】分析】根据两圆外切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，半径分别为，所以圆心距为5，若两圆外切，则，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为，所以，解得，故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距
8、，两圆半径必构成一个直角三角形，故，解得，故C正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：两圆的位置关系可通过圆心距与半径之间的关系确定，两圆的公共弦所在直线的方程可利用两圆方程作差求解，当两圆的交点处的切线垂直时，一个圆的切线必过另一个圆的圆心.10. 给出下列命题，其中正确命题有（ ）A. 空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B. 已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底C. ，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，共面D. 已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底【答案】ACD【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】
9、选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11. 给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（ ）A. 设为两个定点，为非零常数，则动点的轨迹为双曲线B.
10、过定圆上一定点作圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D. 双曲线与椭圆有相同的焦点【答案】CD【解析】【分析】选项A根据双曲线的定义可判断，选项B,是的中点，根据垂径定理, ,可得在以为直径的圆上运动，选项C方程的两根分别为和；选项D直接求出双曲线和椭圆的焦点坐标可判断.【详解】A不正确；若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离，当点在的延长线上时，显然这种曲线是射线，而非双曲线；B不正确；是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，圆心为，那么有即恒为直角，由于是圆的半径，是定长，而恒为直角，也就是说，在以CA为直径的圆上运动，所以
11、点的轨迹是一个圆. C正确；方程的两根分别为和可分别作为椭圆和双曲线的离心率，D正确，双曲线与椭圆焦点坐标都是，故选: CD12. 在长方体中，以为原点，以分别为轴， 轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A. B. 异面直线与所成角的余弦值为C. 平面的一个法向量为D. 二面角的余弦值为【答案】ACD【解析】【分析】由向量法对每一选项进行逐一计算验证，可得答案.【详解】由题意可得, 选项A: 所以，则A 正确.选项B:,所以 所以异面直线与所成角的余弦值为，则B不正确.选项C：设平面的一个法向量为 由,，则 所以 ，取，得，则C正确.选项D：由上可得平面的一个法向量为又平面
12、的法向量为则 所以二面角的余弦值为，则D正确.故选：ACD三、填空题(每小题5分，共4小题20分)13. 平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，则对角线的长度为_.【答案】2【解析】【分析】利用，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得.【详解】对两边平方并化简得,故.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.14. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是_【答案】【解析】【分析】求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为（圆的半径），计算求得结果.【详解】由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，如图：所以，最短路径的长.故答案为：.【
13、点睛】本题主要考查反射定理应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题15. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，即可根据斜率列出等式求解即可【详解】联立，解得，所以.依题可得，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题16. 已知椭圆：离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，则直线的方程为_【答案】【解析】【
14、分析】根据离心率及四边形面积公式，结合椭圆中a、b、c的关系，即可求得椭圆的标准方程；然后利用点差法即可求得直线斜率，再由点斜率求得直线方程即可【详解】椭圆：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12四个顶点构成的面积为 所以 ，解方程组得所以椭圆的标准方程为因为直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），所以设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-4，y1+y2=2，将A、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得则直线 的方程为 ，即【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，点差法在涉及中点问题中的应用，属于中档题四、解答题(第17题10分，第18题12分，第19题1
15、2分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分)17. 三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上高线AD所在直线的方程【答案】（1）x+2y-4=0 （2）2x-y+6=0【解析】【分析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可； （2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可【详解】（1）BC边所在直线的方程为：=，即x+2y-4=0；（2）BC的斜率K1=-，BC边上的高AD的斜率K=2，BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），即2x-y+6=0【点睛】此题考查了中点
16、坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上（1）求圆的方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程【答案】（1）；（2）直线的方程为或【解析】【分析】（1）由圆的性质可得：的垂直平分线方程与直线联立方程组求得圆心为，用两点之间距离公式求得，即可求出圆的标准方差.（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距，再利用圆心到直线的距离为求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.【详解】（1）因为，所以线段的中点坐标为，直线的斜率，因此线段的垂直平分线方程是：，即圆心的坐标是方程组的解解此方程组得：，所以圆心的坐标是圆的半径长
17、，所以圆心为的圆的标准方程是（2）因为，所以在圆内.又因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离当直线的斜率不存在时，到的距离为，符合题意当直线的斜率存在时，设，即所以，解得，直线为：，即：综上：直线的方程为或【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19. 如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，是侧棱上一点.（1）若，求的值；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，结合几何
18、关系可得；(2)结合(1)中的空间直角坐标系和题意可得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、分别为、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则,， ， 设，则 ， 由得，即解得， 故；(2) 因为，所以，设平面的一个法向量为，由得，所以， 则， 设直线与平面所成的角为,所以，所以直线与平面所成的角正弦值为.20. 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求直线方程【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.（2）首先设出
19、直线方程，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程，再解方程即可得到答案.【详解】（1）由题意知解得，.所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，其判别式.设点，坐标分别为，则，.所以，整理得，解得或，所以或.综上，直线的方程为或.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.21. 在直三棱柱中，是中点.（）求证：/平面；（）求点到平面的距离；（）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析（2）（
20、3）【解析】【分析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理，证明；（2）利用空间直角坐标系解决；（3）利用空间直角坐标系解决试题解析：（1）连结交于，连结. (2) 如图建立坐标系，则, , 设平面的法向量为， 所以. （3 ）平面的法向量为. 所以所以二面角的余弦值为 【详解】22. 已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过点且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据经过点M（0，1），长轴长是短轴长的2倍，可得b1，a2，得出椭圆方程；（2）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算k1+k2化简【详解】（1）椭圆经过点，.又，.椭圆的标准方程为：.（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意.设直线的方程为，即.联立，得 .设，则 .为定值，且定值为1.【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
