1、1.3.2 函数的极值与导数内 容 标 准学 科 素 养1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活运用；2.掌握函数极值的判定及求法；3.会根据函数的极值求参数.加强直观探索熟练数形结合提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点一 函数的极值预习教材P2629，思考并完成以下问题在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近所有点的最高点同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近所有点的最低点假设如图是群山中各个山峰的一部分图象，观察如图中 P 点附近
2、图象从左到右的变化趋势，P点的函数值以及点 P 位置各有什么特点？实例中 P 点，Q 点的函数值与其附近的函数值有何关系？提示：点 P 附近的函数值都小于点 P 处的函数值，点 Q 附近的函数值都大于点 Q 处的函数值知识梳理 函数的极值(1)极小值：如果函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)极大值：如果函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b
3、)；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则把点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极大值和极小值统称为0 0 极值知识点二 函数极值的求法知识梳理 一般地，求函数 yf(x)的极值的方法是：解方程 f(x)0.当 f(x0)0 时：(1)如果在 x0 附近的左侧，右侧，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0 附近的左侧，右侧，那么 f(x0)是极小值f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0思考：1.极大值是不是一定大于极小值？提示：极大值是比它附近的函数值都大的函数值，极小值是比它附近的函数值都小的函数值，所以极大值与极小值之间
4、无确定的大小关系2函数的极值与极值点之间的关系是什么？提示：函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标3导数值为零的点一定是函数的极值点，这种说法正确吗？提示：不正确，如 yx3，当 x0 时，y3x20，而函数在 x0 两侧导数符号不变化，即函数单调性不变，故 x0 不是函数的极值点自我检测1已知函数 f(x)x3px2qx 的图像与 x 轴切于(1,0)点，则 f(x)的极大值，极小值分别为()A.427，0 B0，427C 427，0 D0，427解析：f(x)3x22pxq，由 f(1)0，f(1)0，得32
5、pq0，1pq0，解得p2，q1，所以 f(x)x32x2x.由 f(x)3x24x10 得 x13或 x1，易得当 x13时，f(x)取极大值 427.当 x1 时，f(x)取极小值 0.答案：A2已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a()A9 B2 C4 D2解析：因为 f(x)x312x，所以 f(x)3x2123(x2)(x2)，所以当 x2 或 x2 时，f(x)0，f(x)单调递增；当2x2 时，f(x)0，f(x)单调递减所以当 x2 时，f(x)有极小值，即函数的极小值点为 2，所以 a2.答案：D3若函数 yx36x2m 的极大值等于 13，则实数 m 等于
6、_解析：y3x212x，由 y0，得 x0 或 x4，容易得出当 x4 时函数取得极大值，所以43642m13，解得 m19.答案：19探究一 求函数的极值(点)例 1 求下列函数的极值：(1)f(x)(x21)31；(2)f(x)ln xx.解析(1)f(x)6x(x21)26x(x1)2(x1)2.令 f(x)0解得 x11，x20，x31.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)无极值 极小值 0 无极值 所以当 x0 时，f(x)有极小值且 f(x)极小值0，无极大值(2)函数 f(x)ln xx 的定义域为
7、(0，)，且 f(x)1ln xx2.令 f(x)0，解得 xe.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递增1e单调递减因此，xe 是函数的极大值点，极大值为 f(e)1e，没有极小值方法技巧 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)用方程 f(x)0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由 f(x)在方程 f(x)0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然跟踪探究 1.(1)函数 f(x
8、)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A1 B2 C3 D4(2)在等比数列an中，a3，a7 是函数 f(x)13x34x29x1 的极值点，则 a5()A4 B3 C3 D4(3)已知 x0 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 x0_.解析：(1)由 f(x)0 时，f(x)单调递增，f(x)0 时，f(x)单调递减可知 f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个(2)因为 f(x)13x34x29x1，所以由 f(x)x28x90 可知 a3a79，a3a78，因为等比数列中 a25a3
9、a7 且 a50，所以 a53.(3)f(x)3x212，所以 x2 时，f(x)0，2x2 时，f(x)0，x2 时，f(x)0，所以 x2 是 f(x)的极小值点，又 x0为 f(x)的极小值点，所以 x02.答案：(1)A(2)B(3)2探究二 与参数有关的极值问题例 2 函数 f(x)13x3x2ax1 有极值点，求 a 的取值范围解析 f(x)x22xa，由题意，方程 x22xa0 有两个不同的实数根，所以44a0，解得 a1.故 a 的取值范围为(，1)延伸探究 1.若函数的极大值点是1，求 a 的值解析：f(x)x22xa，由题意 f(1)12a0，解得 a3，则 f(x)x22
10、x3，经验证可知，f(x)在 x1 处取得极大值2若函数 f(x)有一正一负两个极值点，求 a 的取值范围解析：由题意，方程 x22xa0 有一正一负两个根，设为 x1，x2，则 x1x2a0，故 a 的取值范围是(，0)方法技巧 已知函数的极值情况求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为 0 和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解(2)验证：因为导数值为 0 不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证跟踪探究 2.已知函数 f(x)axaex(aR，a0)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范
11、围解析：(1)当 a1 时，f(x)x1ex，f(x)x2ex.由 f(x)0，得 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值 所以函数 f(x)的极小值为 f(2)1e2，函数 f(x)无极大值(2)F(x)f(x)aexaxaexe2xax2ex.当 a0 时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极小值 若使函数 F(x)没有零点，当且仅当 F(2)ae210，解得 ae2，所以此时e2a0；当 a0 时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极大值 当 x
12、2 时，F(x)ax1ex11，当 x2 时，令 F(x)ax1ex10，即 a(x1)ex0，由于 a(x1)exa(x1)e2，令 a(x1)e20，得 x1e2a，即 x1e2a时，F(x)0，所以 F(x)总存在零点，综上所述，所求实数 a 的取值范围是(e2,0)探究三 利用函数极值解决函数零点问题例 3 已知函数 f(x)x36x29x3，若函数 yf(x)的图象与 y13f(x)5xm 的图象有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围解析 由 f(x)x36x29x3，可得 f(x)3x212x9，13f(x)5xm13(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得 x36x29
13、x3x2x3m 有三个不相等的实根，即 g(x)x37x28xm 的图象与 x 轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令 g(x)0，得 x23或 x4.当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x，232323，44(4，)g(x)00g(x)极大值 极小值 由函数 g(x)的极大值为 g23 6827m，极小值为 g(4)16m.由 yf(x)的图象与 y13f(x)5xm 的图象有三个不同交点，得g23 6827m0，g416m0，解得16m6827.即实数 m 的取值范围为16，6827.方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在
14、此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪探究 3.若 2ln(x2)x2xb0 在区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围解析：令 g(x)2ln(x2)x2xb，则 g(x)2x22x12xx52x2(x2)当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)极大值 由表可知，函数在 x0 处取得极大值，极大值为 g(0)2ln 2b.结合图象(图略)可知，要使 g(x)0 在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需 g10，g00，g10，即b0
15、，2ln 2b0，2ln 32b0，所以2ln 2b22ln 3.故实数 b 的取值范围是(2ln 2,2ln 3课后小结(1)求函数极值的步骤确定函数的定义域；求导数 f(x)；解方程 f(x)0 得方程的根；利用方程 f(x)0 的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；确定函数的极值，如果 f(x)的符号在 x0 处由正(负)变负(正)，则 f(x)在 x0 处取得极大(小)值(2)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法
16、求解后必须验证充分性(3)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)的图象的交点的横坐标(4)事实上，利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便素养培优有关求参的题目忘记验证而产生增根易错案例：已知 f(x)x33ax2bxa2 在 x1 时有极值 0，求常数 a，b 的值易错分析：凡是求参数取值的题目都要进行检验，否则往往会导致增根，完善解题，从而达到解答规范，运算准确的基本核心素养自我纠正：因为 f(x)在 x1 时有极值 0，且 f(x)3x26axb，所以f10，f10，即36ab0，13aba20.解得a1，b3或a2，b9.当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，所以 f(x)在 R 上是增函数，无极值，故舍去当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)因为当 x(3，1)时，f(x)是减函数；当 x(1，)时，f(x)是增函数，所以 f(x)在 x1 时取得极小值，因此 a2，b9.04 课时 跟踪训练
