1、第4课时 指数函数的图像与性质（2）一、课前准备1课时目标理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征培养学生数学应用意识2基础预探（1）已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是 ( )A.(1,5) B. (1,4) C. (0,4) D.(4,0)（2）函数的定义域是（1，2），则函数的定义域是_；二、基本知识习题化1设y1，y2，y3，则（ ）A y3y1y2 B y2y1y3C y1y2y3 D y1y3y22 比较大小： .3若指数函数的图象经过点，则 ， 。三、学习引领1指数函数定义的解读学生问：为什么在指
2、数函数中规定“”？老师答：这样规定的出发点是：使函数的定义域为R；同时使函数具有单调性。 如果，则，一方面对没有什么意义，且时，没有太大的研究价值。若，则对的某些取值没有意义，如：，则，在等时都无意义。若时，它的定义域、值域、对应法则都是一目了然，再深入研究没有意义。学生问：函数是指数函数吗？老师答：指数函数的解析式中，的系数必须是1.有些函数表面上看好象是指数函数，实际上却不是，比如 (，)型的；有些函数看起来不象指数函数，实际上却是，比如 ()，因为它可以化为，其中，且.所以函数不是指数函数。2指数函数性质的解读学生问：为什么说指数函数的图象是研究指数函数性质的最为直观工具？老师答：因为通
3、过图象我们可以直接观察到函数的一些性质，比如对于的任意值，指数函数的图象始终过定点(0，1)，图象始终在轴上方；当时第一象限的图象与时第二象限的图象始终在直线的上方，当时第二象限的图象与时第一象限的图象始终在的下方；当时，图象是向上上升的，当时图象是向下下降的所以图象是研究指数函数性质最为直观的工具学生问：如何利用指数函数的性质比较大小？老师答：对于指数式子大小的比较常用如下方法：比较幂值的大小常常化为同底数的幂，根据指数的单调性比较大小如果不能化为同底数的幂，则要借助幂值的范围利用中间量进行比较（如常选0，1作中间量）学生问：在同一坐标系中，指数函数的图象有什么规律？老师答：yxOC3C2C
4、1C41当时，图象显现递增性，形如“撇”，如图示：；当时，图象显现出递减性，形如“捺”形，如图示：，图象恒过定点。底数“大小”的规律： 在轴的右侧，底数增大从低到高，即图象位置对应的底数也大，如右图相应曲线的底数分别为，则有；在轴左侧，底数增大从高到低，即图象位置越高，对应的底数就越小。函数，当时，它是在R上的减函数，且向轴正方向无限趋近；当时，它是R上的增函数，且向轴负方向无限趋近。四、典例导析1有关定义域与值域问题：例1求下列函数的定义域与值域.思路导析:通过换元把复合函数转化成基本初等函数,利用基本初等函数的图象和性质进行解答.解: 令 ,则,函数的定义域是且,函数的定义域为且函数的值域
5、是,函数的定义域是.函数( )的图象如图所示.的值域为且(2) 令 ,则,函数的定义域是函数的定义域为.一次函数的值域是,函数的定义域是.函数 ()的图象如图2所示.的值域为.规律总结: 形如的值域的求解可先确定的值域，再根据指数函数的图象和性质确定其值域变式练习：1.求下列函数的定义域与值域（1）;（2）.2应用指数函数的单调性比较大小：例2比较下列两组数的大小：(1)与()(2)3.73与5-2.4思路导析：比较指数式的大小是指数与指数函数常见题型,它一般要用到指数函数的单调性,有的可直接比较,有的要找中间量比较。解：(1)40.621.2，()-1.521.5，考察指数函数，因为它的底数
6、21，所以指数函数在R上是增函数，又因为1.21.5，所以21.221.5，即40.6()-1.5.(2) 底数3. 71，指数函数y3.7x在R上是增函数，又因为30，所以13.703.73，因为5-10.2，所以0.5-2.4(0.2)2.4，又00.21，指数函数y0.2x在R上是减函数，又因为2.40，所以0.22.40.201，即5-2.41，所以3.730.5-2.4.规律总结：第（1）不是同底化为同底，然后转化为第一种类型的题目求解，体现着化归的思想。第（2）问则以中间量1为比对量进行比较，也是常用的方法。变式练习：2.比较大小（1）与（2）与（3）与（4）3.指数函数的单调性及
7、其应用：例3已知且，讨论的单调性. 思路导析：与指数函数有关的复合函数讨论单调性问题，指数，当时是减函数，时是增函数，而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.解析：设，则当时，是减函数，当时，是增函数，又当时，是增函数，当时，是减函数，所以，当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.规律总结：一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域. 变式练习3设，其中a0，a1确定x为何值时，有4指数函数的综合应用：例4已知求函数的最值思路导析:通过换元把复合函数转化
8、成基本初等函数,利用基本初等函数的图象和性质进行解答.解：令,函数的图象如图5所示,(图5)函数的值域是=,函数y的图象如图6所示,(图6)函数的值域是,规律总结:在函数的学习中,利用换元的思想把复合函数转化成基本初等函数,在函数的定义域内画出基本初等函数的图象,利用图象确定函数的某些性质,掌握这种方法是学好函数的基础,要想学会数学必须攻克这一关.变式练习4.若满足，求函数的值域.五、随堂练习1. 数在区间上的单调性是（ ）A增函数 B减函数 C常数函数 D先减后增函数2. 已知函数满足：(1) 对于任意的,有；(2)对于任意的，当时有，请写出一个满足这些条件的函数 .（写出一个即可）3. 对
9、于函数y = ()，求函数的定义域、值域； 确定函数的单调区间4. 比较大小：（2）；（3）.5.设为实数， 证明：不论为何实数，均为增函数；试确定的值，使成立.六、课后作业1.已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.函数在区间上的最大值与最小值的和为3，则（ ） A. B. C. D.3.设，则函数的图象形状大致是O1xyDCO1xyAO1xyBO1xyC4.函数在区间上是单调增函数，则的取值范围是 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（
10、小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.6.当时，判断函数是奇函数.指数函数的图像与性质（2）答案解析：一、课前准备2基础预探（1）解：由指数函数的性质可得:的图象恒过定点(1,5) 所以选A。（2） 提示： 二、基本知识习题化1.解：本题是比较大小问题，可化为同底由y1，y2，y3，又指数函数y2x是增函数，故
11、有y1y3y2，而选(D)2.提示：由为单调增函数，所以，所以.3.1，解：因。四、典例导析变式练习：1解析：(1) 令 ,则,函数的定义域是函数的定义域为.分段函数的值域是,函数的定义域是.函数 ()的图象如图所示.的值域为.(2) 令 ,则,函数的定义域是,函数的定义域为.二次函数=+1-1=的定义域是,的值域是,函数的定义域是.函数( )的图象如图所示.的值域为.2、解：（1）（2） ，（3），（4），3解析：因为，所以当a1时，所以；当0a1时，所以4解析：设，则，又，则， 此时， 当时，有最小值，当时，有最小值， 函数的值域为.五、随堂练习1由于是减函数，所以f（x）也为减函数。2
12、提示：条件满足指数函数的运算：即；条件，函数为单调递增函数，所以可填写或3解： 设u = x6x + 17，由于函数y = ()及u = x6x + 17的定义域是R，故函数y = ()的定义域为R因为u = x6x +17 = (x3) + 88，所以()()=，当注意到()0时，故得函数值域为0y函数u = x6x +17在上是增函数，即当3xx+时有uu，从而()()，就是yy，所以函数y = ()在上是减函数同理可知，函数y = ()在上是增函数4解 （2）分别利用对数函数的单调性，都是递减函数，所以，所以.（3）分别利用对数函数的单调性，都是递增函数，所以，所以.5解析：证明：设且，
13、则 由于指数函数在R上是增函数，且所以，即，又由，得所以，所以不论为何实数，均为增函数. 由得， 即，得.六、课后作业1.C 提示：由指数函数的性质可得：是正确的，主要考查指数幂的运算及指数函数的性质.2.B 提示：当函数的最大值为，最小值为1，则，得； 当函数的最大值为1，最小值为，则，得（舍去）；3.A 提示：函数为偶函数，图象关于y轴对称，又时，又，故选A4. 提示：当时，函数在上是单调增函数，则函数在为增函数，所以，故的取值范围是.5.解析：图中直线的斜率为，方程为，点在曲线 上，所以，所以，因此. 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕后，室内药量减少到毫克以下时，学生方可进入教室，即，解得.6.证明：由，得，故函数定义域为，易判断其定义域关于原点对称.又f（x）=f（x），f（x）=f（x）,函数y=是奇函数.
