1、数学第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.正确理解平面的概念.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.课标要求 数学知识梳理 1.平面(1)平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的.(2)平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1).如果一个平面被另一个平面遮挡
2、住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图(2).(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面.注意:“平面”二字不能省略.无限延展 45 2倍 虚线 数学2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点 A 在直线 l 上 Al 点 A 在直线 l 外 Al 点 A 在平面 内 A 点 A 在平面 外 A 直线 l 在平面 内 l 直线 l 在平面 外 l 平面,相交于 l =l 数学3.平面的基本性质 文字语言 图形语言 符号语言 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内 Al,Bl,
3、且 A,B l 公理2 过 的三点,有且只有一个平面 A,B,C 三点不共线 存在惟一的平面,使 A,B,C 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点,那么它们有且只有一条 的公共直线 P,P =l,且 Pl 两点 不在一条直线上 一个 过该点 数学自我检测 1.(符号表示)下列符号表述中,错误的是()(A)Ab (B)A (C)a (D)P()2.(公理2)(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()(A)0(B)1 (C)0或1 (D)1或3 3.(符号表示)如图所示,用符号语言可表达为()(A)=m,n,mn=A(B)=m,n,mn=A(C)=m,n,
4、Am,An(D)=m,n,Am,An 4.(平面的概念)(2015运城市康杰中学高二(上)期中)三个平面将空间最多能分成()(A)6部分 (B)7部分 (C)8部分(D)9部分 C D A C 数学5.(公理1)点M在直线l上,M不在平面 内,则l与平面 的公共点的个数为 个.答案:0或1 6.(公理3)如图,已知D,E是ABC的边AC,BC上的点,平面 经过D,E两点,若直线AB与平面 的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .答案:点P在直线DE上 数学课堂探究文字语言、图形语言、符号语言的转换 题型一【例1】完成下列各题:(1)将下列文字语言转换为符号语言.点A在平面 内,但不在平面
5、内.直线a经过平面 外一点M.直线l在平面 内,又在平面 内(即平面 和平面 相交于直线l).(2)将下列符号语言转换为图形语言.a,b=A,Aa.=c,a,b,ac,bc=P.数学解:(1)A,A.Ma,M.=l.(2)数学题后反思 实现三种语言转换要注意(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”.(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.数学即时训练1-1:(1)下列
6、四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.数学解:(1)在立体几何中凡是被遮挡的线都画成虚线.故选D.(2)在中,=l,a=A,a=B.在中,=l,a,b,al=P,bl=P.数学点线共面 题型二【教师备用】1.过直线与直线外一点能否惟一确定一平面?2.两条相交直线能否惟一确定一平面?两条平行直线呢?提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能惟一确定一平面.数学【例2】如图,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C,求证直线l1、l2、l3在同一平面内.证明:法一(纳入法)因为l1l2=A,所以l1和l2在同一平面内.因
7、为l2l3=B,所以Bl2.又因为l2,所以B.同理可证C.又因为Bl3,Cl3,所以l3.所以直线l1、l2、l3在同一平面内.法二(重合法)因为l1l2=A,所以l1、l2确定一个平面.因为l2l3=B,所以l2、l3确定一个平面.因为Al2,l2,所以A.因为Al2,l2,所以A.同理可证B,B,C,C.所以不共线的三个点A、B、C既在平面内,又在平面内.所以平面和重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.数学题后反思 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有:(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在
8、另一个平面内,再证明两个平面重合.数学即时训练 2 1:已知直线 abc,直线 la=A,lb=B,lc=C,求证:a,b,c,l共面.证明:如图所示.因为ab,所以a,b可确定一个平面.又因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,A,B,所以AB,又Al,Bl,所以l.又因为bc,所以b,c可确定一个平面.同理l.因为平面,均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线,所以l与b确定的平面是惟一的,所以a,b,c,l四线共面.数学【备用例 1】已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中.(1)AA1 与 CC1 是否在同一平面内?(2)点 B,C1,D 是否在同一平面内?(3)画出平面 ACC1
9、A1 与平面 BC1D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.解:(1)如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,因为 AA1CC1,所以 AA1 与 CC1 可确定平面 ACC1A1,所以 AA1 与 CC1 在同一平面内.数学(2)因为点B,C1,D不共线,所以B,C1,D可确定平面BC1D,所以点B,C1,D在同一平面内.(3)因为ACBD=O,D1CDC1=E,所以O平面ACC1A1,且O平面BC1D.又C1平面ACC1A1,且C1平面BC1D,所以平面ACC1A1平面BC1D=OC1.同理平面ACD1平面BDC1=OE.数学多点共线、多线共点问题 题型三【例 3
10、】如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点.求证:CE、D1F、DA 三线交于一点.证明:连接 EF、D 1C、A1B,因为 E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点,所以 EF12 A1B.又因为 A1BD1C,所以 EF12 D1C,所以 E、F、D1、C 四点共面,可设 D1FCE=P.又 D1F 平面 A1D1DA,CE 平面 ABCD,所以点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点.又因为平面 A1D1DA平面 ABCD=DA,所以据公理 3 可得 PDA,即 CE、D1F、DA三线交于一点.数学题后反思 (1
11、)证明三线共点常用的方法:先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a、b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c三线共点.(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.数学即时训练3 1:在长方体ABCD A1B1C1D1中,O1是A1C1与B1D1的交点,长方体体对角线 A1C 交截面 AB
12、1D1 于点 P.求证:O1,P,A 三点在同一条直线上.证明:因为O1平面AB1D1,O1平面AA1C1C,A平面AB1D1,A平面AA1C1C,又因为A1C平面AB1D1=P.所以P直线A1C,P平面AB1D1,所以P平面AA1C1C,所以P直线AO1,即O1、P、A三点在同一条直线上.数学【备用例 2】如图,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 中点,F、G 分别是 BC、CD 上的点,且 CFCB=CGCD=23.求证:三条直线 EF、GH、AC 交于一点.证明:因为 E、H 分别是 AB、AD 中点,所以 EH12BD,因为 CFCB=CGCD=23,所以 GFBD,
13、GF=23BD,所以 EHGF 且 EHGF,所以四边形 EFGH 为梯形,所以两腰 EF、GH 交于一点,记为 P.因为 EF 平面 ABC,所以 P平面 ABC,同理 P平面 ADC,所以 P 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上,所以三条直线 EF、GH、AC 交于一点.数学【备用例 3】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1 和 AA1 的中点,画出平面 BED1F与平面 ABCD 的交线,并说明理由.解:在平面AA1D1D内,延长D1F,因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点,设为P,则PFD1,PDA.又因为D1F平面BED1F,DA平面ABCD,所以P平面BED1F,P平面ABCD,所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
