1、第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离2会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系3会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数 相交有 公共点相切只有 公共点相离 公共点两个一个没有2.直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系及判断位置关系相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 几何法：设圆心到直线的距离 d|AaB
2、bC|A2B2d r d r d r 判定方法代数法：由AxByC0，（xa）2（yb）2r2消元得到一元二次方程的判别式 0 0 0两一零思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”B 圆心(0，0)到直线 3x4y50 的距离 d|5|32421.dr，直线与圆相切选 B.1直线 3x4y50 与圆 x2y21 的位置关系是()A.相交 B相切C.相离D无法判断D 直线 yx
3、过圆 x2y21 的圆心 C(0，0)，则|AB|2.2设 A，B 为直线 yx 与圆 x2y21 的两个交点，则|AB|()A.1 B 2C.3D2x2y22 圆的半径就是原点到直线 xy20 的距离，rd|2|2 2.所以所求圆的方程为 x2y22.3圆心在原点上且与直线 xy20 相切的圆的方程为_4 5 由已知圆心 C(3，1)，半径 r5.又圆心 C 到直线 l 的距离d|32|5 5，则弦长2 r2d24 5.4直线 x2y0 被圆 C：x2y26x2y150 所截得的弦长等于_合 作 探 究 释 疑 难 直线与圆的位置关系【例 1】已知直线方程 mxym10，圆的方程 x2y24
4、x2y10.当 m 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点解 法一：将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，(1)当 0 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当 0 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当 0 时，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，即圆心为 C(2，1)，半径 r2.圆心 C(2，1)到直线 mxym10 的距离d|2m1m1|1m2|
5、m2|1m2.(1)当 d0 或 m2 时，即43m1，所以点 A 在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y3k(x4)，即 kxy4k30.设圆心为 C，因为圆心 C(3，1)到切线的距离等于半径 1，所以|3k134k|k211，即|k4|k21，所以 k28k16k21，解得 k158.所以切线方程为158 xy152 30，即 15x8y360.若直线斜率不存在，圆心 C(3，1)到直线 x4 的距离为 1，这时直线 x4 与圆相切，所以另一条切线方程为 x4.综上，所求切线方程为 15x8y360 或 x4.1本例中若将点“A(4，3)”改为“A(
6、2，1)”，则结果如何？解 因为(23)2(11)21，所以点 A(2，1)在圆上，从而 A 是切点，又过圆心(3,1)与点 A 的直线斜率为 0，故所求切线的方程为 y1.2若本例的条件不变，求其切线长解 因为圆心 C 的坐标为(3，1)，设切点为 B，则ABC 为直角三角形，|AC|（34）2（13）2 17，又|BC|r1，则|AB|AC|2|BC|2（17）2124，所以切线长为 4.圆的切线的求法：(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为1k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程
7、 xx0 或 yy0.(2)点在圆外时：几何法：设切线方程为 yy0k(xx0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，也就得切线方程代数法：设切线方程为 yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程，由 0 求出 k，可得切线方程特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解直线与圆的相交问题探究问题1已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|（x2x1）2（y2y1）2求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d，如何求弦长？提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三
8、角形，如图所示，求得弦长 l2 r2d2.【例 3】求直线 l：3xy60 被圆 C：x2y22y40 截得的弦长思路探究：法一：求圆心半径 勾股定理弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解法二：求交点坐标利用两点间距离公式 求弦长解 法一：圆 C：x2y22y40 可化为 x2(y1)25，其圆心坐标为(0，1)，半径 r 5.点(0，1)到直线 l 的距离为 d|3016|3212 102，l2 r2d2 10，所以截得的弦长为 10.法二：设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点由3xy60，x2y22y40，得交点 A(1，3)，B(2，0)，所以弦 AB 的长为|AB|（21）2（0
9、3）2 10.3若本例改为“过点(2，0)的直线被圆 C：x2y22y40 截得的弦长为 10，求该直线方程”，又如何求解？解 由例题知，圆心 C(0，1)，半径 r 5，又弦长为 10，所以圆心到直线的距离dr21022552 102.又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，可设直线斜率为 k，则直线方程为 yk(x2)，所以 d|12k|k21 102，解得 k3 或 k13，所以直线方程为 y3(x2)或 y13(x2)，即 3xy60 或 x3y20.求弦长常用的三种方法：(1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之间的关系12l2d2r2 解题(2)利用交点坐标，若直
10、线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长(3)利用弦长公式，设直线 l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l 1k2|x1x2|（1k2）（x1x2）24x1x2.课 堂 小 结 提 素 养 1本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题难点是解决直线与圆的位置关系2判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数两者相比较，前者较形象、直观，便
11、于运算3与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解D 圆心坐标为(1，1)，圆心到直线 3x4y120 的距离为 d|3412|3242 115 r3.又点(1，1)不在直线 3x4y120 上，所以直线与圆相交且不过圆心选 D.1直线 3x4y120 与圆(x1)2(y1)29 的位置关系是()A.过圆心 B相切C.相离D相交但不过圆心B 由题意得|a|21，所以 a 2，故选 B.2若直线 yxa 与圆 x2y21 相切，则 a 的值为()A.2 B 2C.1 D13求过点(1，7)且与圆 x2y225 相切的直线方程解 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为y7k(x1)，即 kxyk70.|k7|k21 5，解得 k43或 k34.所求切线方程为 y743(x1)或 y734(x1)，即 4x3y250 或 3x4y250.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
