1、热点突破热点突破高考导航 数列在中学教材中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，通过对近几年高考试题的统计分析，高考对本部分内容的命题主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题，难度中等偏下；二是等差、等比数列的通项与求和问题，往往结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循、难度中等热点突破热点一 等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用热点突破【例1】
2、(2015无锡调研)已知等比数列an的前n项和为Sn，a13，且3S1,2S2，S3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3an，求Tnb1b2b2b3b3b4b4b5b2n1b2nb2nb2n1.审题流程一审：条件3S1,2S2，S3成等差数列，列出等式4S23S1S3.二审：条件数列an为等比数列，求公比q.三审：条件bnlog3an，求出bn.四审：结论从通项b2n1b2nb2nb2n1中找出和式特征热点突破解(1)3S1,2S2，S3 成等差数列，4S23S1S3，4(a1a2)3a1(a1a2a3)，即 a33a2，公比 q3，ana1qn13n.(2)由(1)知，
3、bnlog3anlog33nn，b2n1b2nb2nb2n1(2n1)2n2n(2n1)4n，Tn(b1b2b2b3)(b3b4b4b5)(b2n1b2nb2nb2n1)4(12n)4nn122n22n.热点突破探究提高(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序(2)在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的热点突破【训练 1】(2014成都诊断)已
4、知等差数列an的公差为 2，其前n 项和 Snpn22n，nN*.(1)求 p 的值及 an；(2)在等比数列bn中，b3a1，b4a24，若等比数列bn的前 n 项和为 Tn.求证：数列Tn16 为等比数列(1)解 由已知a1S1p2，S24p4，即a1a24p4，a23p2，由已知a2a12，p1，an2n1，nN*.热点突破(2)证明 在等比数列bn中，b3a13，b4a249，qb4b33，由 b3b132，即 3b132，解得 b113.bn是以13为首项，3 为公比的等比数列，Tn1313n13 16(3n1)，即 Tn16163n123n1，热点突破又T11612，Tn16Tn1
5、163，n2，nN*，数列Tn16 是以12为首项，3 为公比的等比数列.热点突破热点二 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选 热点突破【例 2】(12 分)(2014四川卷)设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x 的图象上(nN*)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anb2n的前 n 项和 Sn.(1)证明 由
6、已知可知，bn2an0，当 n1 时，bn1bn 2an1an2d，所以数列bn是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列(4 分)热点突破(2)解 函数 f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2.由题意知，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.(6 分)所以 da2a11，ann，bn2n，anb2nn4n.(8 分)于是，Sn14242343(n1)4n1n4n，4Sn142243(n1)4nn4n1，(10 分)热点突破因此 Sn4Sn4424nn4n14n143n4n113n4n143.所以 Sn
7、3n14n149.(12 分)热点突破构建模板 错位相减法求和的一般步骤第一步：确定通项，根据已知条件求an，bn.第二步：巧分拆，即新的数列分解为等差数列和等比数列的乘积，并确定等比数列的公比第三步：构差式，即写出Sn的表达式，然后乘以公比，两式作差第四步：根据差式的特征准确求和热点突破探究提高 数列与函数的综合一般体现在两个方面：(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题热点突破【训练 2】已知二次函数 yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为 f(x)6x2，数列an的前
8、 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn3anan1，试求数列bn的前 n 项和 Tn.热点突破解(1)设二次函数 f(x)ax2bx(a0)，则 f(x)2axb.由于 f(x)6x2，得 a3，b2，所以 f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数 yf(x)的图象上，所以 Sn3n22n.当 n2 时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当 n1 时，a1S131221615，所以 an6n5(nN*)热点突破(2)由(1)得 bn3anan136n56n151216n516n1，
9、故 Tn12117 17 113 16n516n112(116n1)3n6n1.热点突破热点三 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等热点突破【例 3】已知单调递增的等比数列an满足 a2a3a428，且a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanlog12an，Snb
10、1b2bn，对任意正整数 n，Sn(nm)an10 恒成立，试求 m 的取值范围热点突破解(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q.依题意，有 2(a32)a2a4，代入 a2a3a428，得 a38.a2a420，a1qa1q320，a3a1q28，解得q2，a12或q12，a132.又an单调递增，q2，a12.an2n.热点突破(2)bn2nlog122nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得 Sn222232nn2n1212n12 n2n12n1n2n12.由 Sn(nm)an10，得 2n1n2n12n2n1m2n10 对任意正整数
11、 n 恒成立，热点突破m2n122n1，即 m 12n1 对任意正整数 n 恒成立 12n11，m1，即 m 的取值范围是(，1探究提高 数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解热点突破【训练 3】已知数列an的各项均为正数，且 a11，ana2n12an1.(1)求证：数列log2(an1)为等比数列；(2)设 bnnlog2(an1)，数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：1Sn4.证明(1)ana2n12an1，an1(an11)2，an0，2log2(an11)log2(an1)，即 log2(an11)12log2(an1)，即数列log2(an1)是以 1 为首项，12为公比的等比数列热点突破(2)数列log2(an1)是以 1 为首项，12为公比的等比数列，log2(an1)12n1，设 bnnlog2(an1)n12n1，则数列bn的前 n 项和为 Sn122 322n12n2 n2n1，12Sn12 222n12n1 n2n.热点突破两式相减得12Sn112 122 12n1 n2n2112n n2n，Sn4n22n1 4，bnn12n10，SnS11，1Sn4.
