1、专题能力训练21函数与方程思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若关于x的方程ax+=3的正实数解有且仅有一个,则实数a的取值范围是() A.(-,0)B.(-,02C.0,+)D.0,+)-22.在正项等比数列an中,an+14x+p-3恒成立的x的取值范围是.10.已知x,y,且有2sin x=sin y,tan x=tan y,则cos x=.11.已知向量a,b及实数t满足|a+tb|=3.若ab=2,则t的最大值是.12.已知数列an的通项公式为an=25-n,数列bn的通项公式为bn=n+k,设cn=若在数列cn中,c5cn对任意
2、nN*恒成立,则实数k的取值范围是.13.已知ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且tan B=,则tan B等于.14.(2017浙江金华十校4月模拟)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.三、解答题(本大题共1小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分30分)过离心率为的椭圆C:=1(ab0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,设|FA|=|FB|,T(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若12,求ABT中AB边上中线长的取值范围.参考答案专题能力训练21函数与方程思想1.B2.D解析 由题意可知a4a6=6,且a4
3、+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以.3.B解析 因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2,而sin x-1,1,所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B.4.A5.C解析 令f(x)=3sin(3x+)=2,得sin(3x+)=(-1,1),又x0,3x0,3,3x+,3+;根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.6.A7.B解析 由题意,可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,所以,在同一坐标系内,画出函数f(x),y=10-|x
4、|=的图象,观察它们在区间的交点个数,就是方程f(x)=10-|x|在上根的个数,结合函数图象的对称性,在y轴两侧各有3个交点,故选B.8.C解析 令f(x)=1得x=3或x=1或x=或x=-1,f=1,x+-2=3或x+-2=1或x+ -2=或x+ -2=-1.令g(x)=x+-2,则当x0时,g(x)2-2=0,当x4x+p-3对于0p4恒成立可以变形为x2-4x+3+p(x-1)0对于0p4恒成立,所以一次函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3在区间0,4上的最小值大于0,即所以x的取值范围是(-,-1)(3,+).10.解析 由-cot2y=1,得=1,化为4cos2x=1,因为x
5、,所以cos x=.11.解析 ab=2abcos =2(为a,b的夹角),|a+tb|=39=a2+t2b2+4t,9=a2+4t4t8t,t,等号成立当且仅当|cos |=1.12.-5,-3解析 数列cn是取an和bn中的最大值,据题意c5是数列cn的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5a5b6或a5b5a4,即5+k25-56+k或25-55+k25-4,解得-5k-4或-4k-3,所以-5k-3.13.2-解析 由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,再由,得accos B=,tan B=2-.14.9-32解析 由xy+2z=1,可得z=.
6、5=x2+y2+2|xy|+,当xy0时,x2y2+6xy-190;当xy0时,x2y2-10xy-190.由x2y2+6xy-190,解得0xy-3+2.由x2y2-10xy-190,解得5-2xy0.xyz=xy=-,可得当xy=5-2时,xyz取得最小值为9-32.15.解 (1)e=,c=1,a=,b=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)当直线的斜率为0时,显然不成立.设直线l:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+2y2-2=0得(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=.由|FA|=|FB|,得y1=-y2.因为-+,所以-+2=.所以0m2.所以AB边上的中线长为|=.
