1、1.3第一课时 函数的单调性和最值（1）一、课前准备1课时目标(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思；(2) 理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；(3) 掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题；能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性。2基础预探（1）在初中已经学习了函数图象的画法为 。其步骤：第一步 ；第二步 ；第三步 。(2) 从函数的图象可以看到其图像特点：图象在轴的右侧部分是 的，也就是说，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着 ，图象在轴的左侧部分是 的，也就是说， 当在
2、区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着 。（3）增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则说在这个区间上是 ；若当,则说在这个区间上是 。（4）若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的） ，这一区间叫做函数的 .此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是 的，减函数的图象是 的.（5）判断或证明单调性的步骤：、 ；、 ；、 ；、 ；、 。二、学习引领1、增减函数单调性。函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数
3、.例如函数，当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数，在R上没有单调性。有的函数没有单调性，如：y=2常数函数。2、函数的单调区间函数的单调区间是其定义域的子集；在区间上取值，应是该区间内任意的两个实数，忽略“需要任意取值”这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。对于某一个点而言，由于其函数值是定值，没有单调性可言，因此在写单调区间时，可以包含端点，也可以不包含端点；但是对于某些不在定义域内的开区间端点，书写时必须去掉端点。因此，在书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”。3、单调函数定义的延伸除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似严格单调的定义，只要将定义中的“
4、, ”改为“ 或,”即可。三、典例导析题型一 判断函数的单调性例1 如图是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 思路导析:观察图像的变化趋势，根据图像的变化得出结论。现阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以。解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.规律总结:上述问题中，通过图像来观察函数的单调性，这是判断
5、函数的单调性的最直观的方法。在判断相关函数的单调性时，尽量根据函数的性质画出函数的图像，然后根据图像来判断单调性。另外，特别注意函数的单调区间如果有两个或两个以上时，中间不能用并集符号，而是用逗号或“和”。变式练习1下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.yx1 By C.yx24x5 Dy题型二 用定义来证明函数的单调性例2、判断下列函数的单调性，并证明(1)f(x)，x(1，)； (2)f(x)，x1，)思路导析: 在定义域中任取两数，规定大小，在（1）中移项，通分，进行整理，通过分子分母的符号判断出整个式子的符号；在（2）中作差后对分子有理化即可。解：(1)函数f(x)在(1，
6、)上为减函数用定义证明：任取x1、x2(1，)，且1x1x2，f(x1)f(x2)，1x1x2，x110，x210，x2x10.0.即f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f(x2)故f(x)在(1，)上为减函数(2)函数f(x)在1，)上为增函数，证明如下：任取x1、x21，)且1x1x2，f(x1)f(x2)，1x1x2，则有x1x20. 0，0，0，即有f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)故函数f(x)在1，)上为增函数规律总结: 在对式子进行整理时经常采用通分、提取公因式、分母有理化等方法。一般要把式子整理成相乘或相除的形式，这样便于判断式子的符号。变式练习2判断f(x)在(0
7、,1上的单调性题型三 求函数的单调区间例3 求下列函数的单调区间并确定每个区间上的单调性。（1）函数y=3x- 的单调增区间； （2）函数 f(x)=x+2x的单调递减区间思路导析:可以根据函数的图像判断函数的单调性，也可利用定义法判断函数的单调性。解：（1）函数y=3x- 的二次项的系数小于零，抛物线的开口向下，二次函数的对称轴是x= 32，函数的单调递减区间是（-， 32）。（2）设0，则f（）-f（）=（ +2）-（ +2）=（-）+（ 2- 2）=（-） -2因为0，所以-0，0，所以当0 2时，-20，所以 -20所以：f（）-f（）0，即f（）f（）所以f（x）在（0， 2上是减函
8、数同理可证：f（x）在- 2，0）上也是减函数规律总结:在解函数的单调区间时要先判断函数的定义域，单调区间要在定义域之内。变式练习3函数y(x3)|x|的递增区间是_题型四 含参数的函数的单调性的判断例4讨论函数在(-2,2)内的单调性.思路导析:本题中含有参数a，为对称轴的横坐标。故属于单调区间固定，对称轴不固定的题目，需要讨论对称轴与定义域的位置关系。可以分为对称轴在定义域的左侧、右侧和定义域之内来讨论。解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.规律总结:含参函数的单调性，主要应用数形结合来进行。在解题过程
9、中，判定好参数的取值范围是关键。在允许的范围内，充分考虑参数不同取值时引起的函数单调性的变化，利用分类讨论的思想解题。变式练习4函数y在(2，)上为增函数，则a的取值范围是_题型五 简单的复合函数的单调性例5.判断函数y在定义域上的单调性思路导析:确定函数的定义域，判断函数y与ux21的单调性再利用复合函数的单调性求解即可。解：y，该函数的定义域为(，11，)又y可看作是由y与ux21两个函数复合而成的，且y在u0，)上为增函数，而ux21在(，1上为减函数且u0，在1，)上为增函数且u0.当x(，1时，y为减函数，当x1，)时，y为增函数规律总结:求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤(1)
10、确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则yf g(x)为增函数；若一增一减，则yf g(x)为减函数，即“同增异减”变式练习5求函数f(x)的单调区间四、随堂练习1函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()AkBk Ck Dk2函数yx22x3(x0)的单调增区间是()A(0，) B(，1 C(，0) D(，13函数y的值域为()A， B，C，2 D，24函数y3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，那么()Aa(，1) Ba2 Ca2 Da25.若函数f(x)=mx2+x+5在-2，+)上
11、是增函数，则实数m的取值范围是_6. 已知函数f(x)=-(a0，x0)(1)求证：f (x)在(0，+)上是增函数； (2)若f(x)在上的值域是，求a的值五、课后作业1、下列函数中，在各自定义域内为增函数的是（ ） (A) (B) (C) (D) 2.函数f(x)是定义在(0，+)上的单调递增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，当f(x)+f(x-8)2时，x的取值范围是()A. (8，+) B. (8,9C. 8,9 D. (0,8)3.函数的单调区间是 。4、已知定义域为的函数在区间上单调递减，对任意的实数，都有，那么的大小关系由小到大排列为 。5. 已知函数yf(
12、x)在0，)上是减函数，试比较f 与f(a2a1)的大小6. 已知f(x) (xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围1.3.1函数的单调性和最值答案解析一、基础预探（1） 答案：五点作图法；列表；描点；连线。（2） 答案：上升；增大；下降；减小。（3） 答案：增函数；减函数（4） 答案：单调性；单调区间；上升；下降。（5） 答案：取值；作差；变形；定号；判断。三典例导析变式训练1.解：选B。yx1，yx24x5，y分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象可以看出在(0,2)上都是减函数2.解：解：f(x)在(0
13、,1上为减函数证明如下：设x1，x2(0,1，且x1x2.则f(x1)f(x2)x1，x2(0,1且x1x2，0,10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0,1上是减函数 3.解：y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：4.解：y1，依题意，得函数的单调增区间为(，a)、(a，)，要使y在(2，)上为增函数，只要2a，即a2.答案：a25.解：设ux2x6，y.由x2x60，得x3或x2.结合二次函数的图象可知，函数ux2x6在(，3上是递减的，在2，)上是递增的又函数y是递增的，函数f(x)在(，3上是递减的，在2，)上是递增的随堂练习1.
14、答案：D使y(2k1)xb在(，)上是减函数，则2k10，即k.2.答案：C解析：二次函数的对称轴为x1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(，0)3.答案：B 定义域为2,8，又f(x)为增函数，y，4.答案：C函数y3x22(a1)xb为二次函数且开口向上，其对称轴方程为x.若使y3x22(a1)xb在(，1)上是减函数，则1，解得a2.5.答案：当m0时，f(x)x5，在2，)上单调递增，m0适合；当m0时，f(x)为二次函数，其对称轴为x，故需满足解得0m.综上可得：0m.6.答案：(1)方法一：设x2x10，则x2x10，x1x20.f(
15、x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数方法二：f(x)，f(x)0，f(x)在(0，)上为是增函数(2)f(x)在上的值域是，又f(x)在上单调递增，f，f(2)2，a.六课后作业1.答案：C先判断函数的定义域，再根据函数的单调性求之即可。2.答案B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得f(x(x8)f(9)，因为函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.3. 答案：【解析】直接由反比例函数的图像可知。4. 答案：。由得函数的对称轴为，所以函数在单调递增， 5.答案：a2a120，又yf(x)在0，)上是减函数，f(a2a1)f.6.答案：(1)证明任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)解任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知0a1.
