1、第一节平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算
2、向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab3.向量共线的判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线， 即ba(a0)ab.(2)向量共线的性质定理：若b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba，即ab(a0)ba.1两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的
3、方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反2两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上30与a0时，a的值是否相等？提示：相等，且均为0.4当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立吗？提示：成立1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则ab，故选项C正确2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C
4、共线且同向 D不一定共线解析：选D可举特例，当n0时，满足mn，nk，故A、B、C选项都不正确，故D正确3D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC D解析：选A如图，由于D是AB的中点，所以4(教材习题改编)化简的结果为_解析：()().答案： 5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则的值为_解析：ab与(b3a)共线，存在实数，使ab(3ab)，即答案：考点一向量的概念 例1给出下列四个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则四边形ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4
5、自主解答不正确|a|b|但a，b的方向不确定，故a，b不一定相等；不正确因为，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；不正确两向量不能比较大小；不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线答案D【方法规律】解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.下列说法中错误的是()A有向线段可以表示向量但不
6、是向量，且向量也不是有向线段B若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任意向量共线，故a，b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选项D中既然方向相反就一定不相等，故正确高频考点考点二 平面向量的线性运算1平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低档题2高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)考查向量加法或减法的几何意义；(2)求已知向量的和；(3)与三角形联系，求参数的值；(4)
7、与平行四边形联系，研究向量的关系例2(1)(2012辽宁高考)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab(2)(2011四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，()A0 B C D 第(2)题图第(3)题图(3)(2013四川高考)如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则 _. (4)(2013江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若1 2 (1，2为实数)，则12的值为_自主解答(1)法一：(代数法)将原式平方得|ab|2|ab|2，a22abb2a22abb2，ab0，ab.法二：
8、(几何法)如图所示：在ABCD中，设a，b，ab，ab，|ab|ab|，平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD为矩形，ab.(2)因六边形ABCDEF是正六边形，故.(3)由平行四边形法则，有，已知，所以2.(4) ()，12，1，2，故12. 答案(1)B(2)D(3)2(4)平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合平行四边形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)与三角形联系，求参数的值求出向量的和或与已知条件中的和式比较，然后求参数(4)与平行四边形联
9、系，研究向量的关系画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解1在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.ab B.ab C.ab D.ab解析：选B如图，由题意知，DEBE13DFAB，故，则abab.2若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2 0，那么()A B2C3 D2解析：选A因为D是BC边的中点，所以有2，所以2222()00.3(2014萍乡模拟)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x) ，则x的取值范
10、围是()A. B.C. D.解析：选D设y，yy()y(1y) ，3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，x.考点三共线向量定理的应用 例3设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F三点共线，求k的值自主解答(1)证明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，与共线又与有公共点C，A，C，D三点共线(2)e1e2，2e13e2，3e12e2.A，C，F三点共线，从而存在实数，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共线的非零向量，因
11、此k2.实数k的值为2.【互动探究】在本例条件下，试确定实数k，使ke1e2与e1ke2共线解：ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，即ke1e2e1ke2，解得k1. 【方法规律】1共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解：a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同at
12、b与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使atb，解得，t，即t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上课堂归纳通法领悟1个规律向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2个结论向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，()G是ABC的重心特别地，0P为ABC的重心3个等价转化与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线 (0) (1t) t (O为平面内异于A，P，B的任一
13、点，tR) xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)4个注意点向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(2)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；(3)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；(4)利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合. 易误警示(六)平面向量的线性运算中的易误点典例(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定
14、向量b和c，总存在实数和，使ab c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1B2C3D4解题指导利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断解析对于，因为a与b给定，所以ab一定存在，可表示为c，即cab，故abc成立，正确；对于，因为b与c不共线，由平面向量基本定理可知正确；对于，由题意必有b和c表示不共线且长度不定的向量，由于为正数，故bc不能把任意向量a表示出来，故错误；对于，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|b|c
15、|a|，故错误，因此正确的个数为2.答案B名师点评1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准，易误认为也是正确的，从而错选C.2进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解下列命题中正确的是()A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，0C不等式|a|ab|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共线解析：选D若a0，b0，此时a，b共线，但对任意实数都不满足ba，故选项A不正确；0而不是0，故选项B不正确；当a，b中至少有一个为
16、0时，两个等号同时成立，故选项C不正确；因为向量a与b不共线，所以a，b，ab与ab均为非零向量若ab与ab共线，则存在实数，使ab(ab)，即(1)a(1)b，则方程组无解，故假设不成立，即ab与ab不共线，故选D.全盘巩固1设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A|a|b|且ab BabCab Da2b解析：选D表示与a同向的单位向量，a与b必须方向相同才能满足.2.已知如图所示的向量中，用，表示，则等于()A.B.CD解析：选C().3已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5解析：选B由0，易得M是ABC的重心，且重心M分中线A
17、E的比为AMME21，2m，2，故m3.4已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A3a6b3.因为与有公共点A，所以A，B，D三点共线5设O在ABC的内部，且有230，则ABC的面积和AOC的面积之比为()A3 B. C2 D.解析：选A设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为()2()0，即240，所以2，说明M，O，N三点共线，则O为中位线MN上靠近N点一个三等分点，SAOCSANCSABCSABC，所以3.6. (2014景德镇模拟)已知：如图，|1，与的夹角为120，与的夹角为30，若 (
18、、R)，则等于()A. B. C. D2解析：选D过C作OB的平行线交OA的延长线于D.由题意可知，COD30，OCD90，OD2CD，又，|2|，即2，故2.7在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3，得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab8若|8，|5，则|的取值范围是_解析：因为，当，同向时，|853；当，反向时，|8513；当，不共线时，3|13.综上可知3|13.答案：3,139(2014太原模拟)如图，ABC中，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，则_.解析：由0，知G为ABC的重心，取AB的中点D，则()，由P，H，Q三点共线，
19、得1，则6.答案：610.如图，在梯形ABCD中，|2|，M，N分别是DC，AB的中点若e1，e2，用e1，e2表示，.解：；e2e1；e1e2.11已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上12已知P为ABC内一点，且3 4 50
20、，延长AP交BC于点D，若a，b，用a、b表示向量，.解：a，b，又34 50，34(a)5(b)0，ab.设t (tR)，则tatb.又设k (kR)，由ba，得k(ba)而a.ak(ba)(1k)akb.由得解得t.代入得ab.ab，ab.冲击名校1如图，在ABC中，ADDB，AEEC，CD与BE交于F，设a，b，xayb，则(x，y)为()A. B.C. D.解析：选C令 ，则(1) ；令，则(1) .由对应系数相等可得解得所以.2设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d
21、R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选D根据已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，从而得c.(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根据2，得2.线段AB的方程是y0，x0,1若C是线段AB的中点，则c，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0c1,01，d1，则2，与2矛盾，若c0，d1，d0，则1，0，此时1，与2矛盾，故选项D的说法是正确的
