1、一、选择题1在地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为,则山顶的仰角为()A BCD解析:如图,设站在 A 处,CD 表示山顶建筑物,C 为山顶,则DAC,DAB,所以观测山顶的仰角为CAB.答案:C2如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度由 B 向 C 航行,其方位角(NBC)为 140.在 A 处有一灯塔,其方位角(NBA)为 110.在 C 处观测灯塔 A 的方位角(NCA)为 35.由 B 到 C 需航行半小时,则 C 到灯塔 A 的距离是()A10 6 km B10 2 kmC10(6 2)km D10(6 2)km解析:由已知得ABC3
2、0,BCA403575,A75.由正弦定理得CAsin ABC BCsin A,所以 CABCsin ABCsin A2012sin 7510(6 2)km.答案:C3一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为()A.17 62海里/小时B34 6海里/小时C.17 22海里/小时D34 2海里/小时解析:如图所示,在PMN 中,PMsin 45MNsin 120,MN68 3234 6,vMN4 1726(海里/小时)故选 A.答案:A4在ABC 中,A60,b1,面积为
3、3,则ABC 外接圆的半径是()A.8 133B.4 33C.2 393D.393解析:由 S12bcsin A,得 312csin 60,所以 c4.由余弦定理得 a2b2c22bccos A,即 a2116214cos 6013,所以 a 13,所以 R12asin A 393.答案:D5(2011 年重庆)若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(ab)2c24,且 C60,则 ab 的值为()A.43B84 3C1 D.23解析:依题意得(ab)2c24,a2b2c22abcos 60ab,两式相减得 ab43,选 A.答案:A二、填空题6轮船 A 和轮船 B 在中午
4、12 时同时离开海港 O,两船航行方向的夹角为 120,两船的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则下午 2 时两船之间的距离是_n mile.解析:如图,两船航行的时间为 t,则有 OA50,OB30.而 AB2OA2OB22OAOB cos 120 50230225030(12)2 5009001 5004 900.AB70.答案:707如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步
5、行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为_米解析:由题图知,连接 OC,在三角形 OCD 中,OD100,CD150,CDO60,由余弦定理可得 OC21002150221001501217 500,OC50 7.答案:50 78已知 a,b,c 分别是ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a1,b 3,AC2B,则 sin A_解析:在ABC 中,由 AC2B,可得 B3,根据正弦定理asin Absin B,1sin A3sin 3,sin A12.答案:129在ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD12DC,ADB120,AD2.若ADC 的面积为3 3,则BAC_解析:如
6、图,ADB120ADC60,SADC12ADDCsin ADC 122CD 32 3 3,CD2(3 3)32(31)又BD12CD,BD 31.在ADB 中,由余弦定理可得 AB2AD2BD22ADBD cos 120 4(31)222(31)(12)6,AB 6.同理在ADC 中,AC2AD2CD22ADCDcos 60 44(31)2222(31)1212(2 3)在ABC 中,cos BACAB2AC2BC22ABAC 62412 39(31)22 62412 312.在ABC 中,BAC(0,180),BAC60.答案:60三、解答题10(2012 年黄冈模拟)已知向量 m3sinx
7、4,1.ncosx4,cos2x4,记 f(x)mn.(1)若 f()32,求 cos23 的值;(2)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且满足(2ac)cosBbcosC,若 f(A)1 32,试判断ABC 的形状解析:f(x)3sinx4cosx4cos2x4 32 sinx212cosx212 sin(x26)12(1)由已知 f()32得 sin2 6 1232,于是 4k23,kZ,cos(23)cos(23 4k23)1.(2)根据正弦定理知:(2ac)cos Bb cos C(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C 2sin Acos Bsi
8、n(BC)sin Acos B12B3 f(A)1 32,sinA26 121 32A26 3 或23 A3 或而 0A23,所以 A3,因此ABC 为等边三角形11(2011 年湖南)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csin Aacos C.(1)求角 C 的大小;(2)求 3sin Acos B4 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小解析:(1)由正弦定理得 sin Csin Asin Acos C.因为 0A0,从而 sin Ccos C.又 cosC0,所以 tan C1,则 C4.(2)由(1)知,B34 A.于是 3sinAcos B4 3
9、sin Acos(A)3sin Acos A 2sin A6.因为 0A34,所以6 A6 1112.从而当 A6 2,即 A3 时,2sin A6 取得最大值 2.综上所述,3sin Acos B4 的最大值为 2,此时 A3,B512.12如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点现位于 A 点北偏东 45,B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60且与 B点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?解析:由题意知 AB5(3 3)海里,DBA906030,DAB904545,ADB180(4530)105,在DAB 中,由正弦定理得DBsin DABABsin ADB,DBABsin DABsin ADB 5(3 3)sin 45sin 105 5(3 3)sin 45sin 45cos 60cos 45sin 60 10 3(海里),又DBCDBAABC 30(9060)60,BC20 3海里,在DBC 中,由余弦定理得 CD2BD2BC22BDBCcos DBC 3001200210 320 312900,CD30(海里),则需要的时间 t30301(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时