1、5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数 必备知识自主学习导思1.如何用导数的定义求基本初等函数的导数？2基本初等函数的导数公式是什么？1.几个常用函数的导数 12等于()A.12 B1 C0 D 12 2【解析】选 C.常数的导数等于 0.2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)ax(a0，且a1)f(x)ax ln af(x)x(Q，且0)f(x)_f(x)exf(x)_x1ex函数导数函数导数f(x)sin xf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)cos xf(x)_f(x)ln xf(x)_1x ln a1xcos
2、 xsin x(1)函数 f(x)ax 的导数与函数 f(x)ex 的导数之间有什么关系？提示：f(x)ex 是底数为 e 的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数 f(x)ex 也是 f(x)ax ln a 当 ae 时的特殊情况(2)函数 f(x)logax 与 f(x)ln x 的导数之间有何关系？提示：f(x)ln x 是 f(x)logax 的一个特例，f(x)ln x 的导数也是 f(x)logax 的导数的特例(3)若 f(x)ex，则 f(x)ex这种说法正确吗？提示：不正确由导数定义可知 f(x)exC(其中 C 为任意实数)，都有 f(x)ex.1辨析记忆(对的打“”，错的
3、打“”).(1)f(x)0，则 f(x)0.()提示：因为 f(x)0 是一个常数函数，所以 f(x)0.(2)若 f(x)ln x，则 f(e)1.()提示：f(x)ln x 时，f(x)1x，所以 f(e)1e 1.(3)若(3x)x3x1.()提示：函数 y3x 是指数函数，其导数应为(3x)3xln 3.(4)(x4)x4ln 4.()提示：函数 yx4 是幂函数，其导数为(x4)4x3.2若函数 y10 x，则 y|x1 等于()A.110B10 C10ln 10 D110ln 10【解析】选 C.因为 y10 xln 10，所以 y|x110ln 10.3(教材练习改编)曲线 f(
4、x)x3 在点(1，f(1)处的切线的斜率为_【解析】k limx0f（1x）f（1）x limx0（1x）313x limx0133x3（x）2（x）31x limx033x(x)23.答案：3关键能力合作学习类型一 利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)1f(x)a3(a0，a1)，则 f(2)()A.8 B12 C8ln 3 D0【解析】选 D.f(x)a3(a0，a1)是常数函数，所以 f(x)0，所以 f(2)0.2已知 f(x)1x3，则 f(1)()A.1 B1 C3 D3【解析】选 D.f(x)1x3 x3，所以 f(x)3x4，所以 f(1)3.3(多选)下列结论正确的为
5、()A.yln 2，则 y12B.y 1x2，则 y|x3 227C.y2x，则 y2xln 2D.ylog2x，则 y1x ln 2【解析】选 BCD.由导数的运算公式可知，有 yln 2，则 y0，所以选项 A 错误，其它选项均正确 运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数，直接套用公式；(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导【补偿训练】1.已知 f(x)x(Q*)，若 f(1)14，则 等于()A.13B12C18D14【解析】选 D.因为 f(x)x，所以 f(x)x1，所以 f(1)14.2函数 f(x)sin x，则
6、 f(6)_【解析】f(x)cos x，所以 f(6)1.答案：1类型二 导数公式的应用(数学抽象、数学运算)【典例】求过曲线 ysin x 上点 P6，12且与过这点的切线垂直的直线方程 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解1(2020全国卷)函数 f(x)x42x3 的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()A.y2x1 By2x1C.y2x3 Dy2x1【解析】选 B.因为 f(x)x42x3，所以 f(x)4x36x2，所以 f(1)1，f(1)2，因
7、此，所求切线的方程为 y12(x1)，即 y2x1.2曲线 y9x 在点 M(3，3)处的切线方程是_【解析】因为 y 9x2，所以 y|x31，所以过点(3，3)的斜率为1 的切线方程为 y3(x3)，即 xy60.答案：xy603水波的半径以 0.5 m/s 的速度向外扩张，当半径为 25 m 时，水波面积的膨胀率是_【解析】因为水波的半径扩张速度为 0.5 m/s，故水波面积为 Sr2(vt)214 t2，故水波面积的膨胀率为 S12 t.当水波的半径为 25 m 时，由 vt25，解得 t50，即可得 S12 5025.答案：25类型三 与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)角度
8、1 求切点坐标及参数值【典例】若直线 yxb 与曲线 yex 相切于点 P，求切点坐标及 b 的值【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出 b 的值【解析】设 P(x0，y0)，由题意可知 y|xx0ex0，所以 ex01，即 x00，所以点 P(0，1).由点 P(0，1)在直线 yxb 上可知 b1.若点 P 是曲线 yex 上的任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离【解析】如图，当曲线 yex 在点 P(x0，y0)处的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距离最近，则曲线 yex 在点 P(x0，y0)处的切线斜率为 1，又 y(ex)ex，所以
9、ex01，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为 22.角度 2 与切线有关的简单应用【典例】曲线 yex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_【解析】因为 y(ex)ex，所以 ke2，所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为 ye2e2(x2)，即 ye2xe2.当 x0 时，ye2，当 y0 时，x1，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 S12 1|e2|12 e2.答案：12 e2 与切线有关问题的解题策略1明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率 kf(x0).2切线方程一般可用点斜式求解3结合题设条件得
10、出所求的代数式或方程1在曲线 f(x)1x 上切线的倾斜角为34 的点的坐标为()A.(1，1)B(1，1)C.(1，1)D(1，1)或(1，1)【解析】选 D.切线的斜率 ktan 34 1，设切点为(x0，y0)，则 f(x0)1，又 f(x)1x2，所以 1x20 1，所以 x01 或1，所以切点坐标为(1，1)或(1，1).2已知函数 yf(x)的图象在 M(1，f(1)处的切线方程是 y12 x2，则 f(1)f(1)_【解析】依题意知，f(1)12 1252，f(1)12，所以 f(1)f(1)52 12 3.答案：33直线 y12 xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实
11、数 b_【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则 y0ln x0.因为 y(ln x)1x，由题意知 1x0 12，所以 x02，y0ln 2.由 ln 212 2b，得 bln 21.答案：ln 21课堂检测素养达标1若 f(x)cos 4，则 f(x)为()Asin 4Bsin 4C0 Dcos 4【解析】选 C.f(x)cos 4 22，故 f(x)0.2函数 ymx2mn 的导数为 y4x3，则()Am1，n2 Bm1，n2Cm1，n2 Dm1，n2【解析】选 D.因为 ymx2mn，所以 ym(2mn)x2mn1，又 y4x3，所以m（2mn）4，2mn13，所以m1，2mn4，即m1
12、，n2.3(多选)下列选项中是正确结论的有()A(sin x)cos x B(x53)x23C(log3x)13ln xD(ln x)1x【解析】选 AD.对于选项 A，因为(sin x)cos x，故正确；对于选项 B，因为(x53)53 x23，故错误；对于选项 C，因为(log3x)1x ln 3，故错误；对于选项 D，因为(ln x)1x，故正确4(教材二次开发：练习改编)已知 f(x)x2，g(x)ln x，若 f(x)g(x)1，则 x_【解析】因为 f(x)x2，g(x)ln x，所以 f(x)2x，g(x)1x 且 x0，f(x)g(x)2x1x 1，即 2x2x10，解得 x1 或 x12(舍去)，故 x1.答案：15若质点 P 的运动方程是 s3 t2(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，求质点 P 在 t8 s时的瞬时速度【解析】因为 s(3 t2)23t2313t，所以 s|t823 813 23 2113，所以质点 P 在 t8 s 时的瞬时速度为 13 m/s.
