1、考点10 反比例函数一、反比例函数的概念1反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数反比例函数的解析式也可以写成的形式自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数2反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围反比例函数（k是常数，k0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数二、反比例函数的图象和性质1反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近
2、坐标轴，但永远达不到坐标轴（2）性质：当k0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小当k0k0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k0时，y随x的增大而减小同样，当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小当k0时，y=x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k0时，y=x+k经过第二、三、四象限，y=经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C典例3 反比例函数的图象在A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限【答案
3、】D【解析】因为，故图象在第二、四象限，故选D典例4 已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数的图象上，则ABCD【答案】A【解析】反比例函数，它的图象经过A（1，m），B（2，n）两点，m=k0，n=0时，y随x的增大而增大D当x0时，y随x的增大而减小3下列函数中，当xk2k3Bk3k2k1Ck2k3k1Dk3k1k2考向三 反比例函数解析式的确定1反比例函数的解析式（k0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可2确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，
4、求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上典例5 若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为ABCD【答案】B【解析】设反比例函数为：反比例函数的图象经过点（3，-2），k=3（-2）=-6故反比例函数为：，故选B典例6 如图，某反比例函数的图象过点M（-2，1），则此反比例函数表达式为Ay=By=-Cy=Dy=-【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y=，把M（，1）代入y=得，k=（-2）1=-2，故选B典例7 如图，C1是反比例函数y=在第一象限内
5、的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为_（x0）【答案】y=【解析】C2与C1关于x轴对称，点A关于x轴的对称点A在C2上，点A（2，1），A坐标（2，1），C2对应的函数的表达式为y=，故答案为y= 5已知反比例函数y=-，下列各点中，在其图象上的有A（-2，-3）B（2，3）C（2，-3）D（1，6）6点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为Ay=By=-Cy=Dy=-7在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q
6、，则经过点Q的反比例函数的表达式为_考向四 反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足典例8 如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（2，0）将线段OC绕点O逆时针旋转60至线段OD，若反比例函数y=（k0）的图象经过A、D两点，则k值为_【答案】【解析】如图，过点D作DEx轴于点E，点B的坐标为（2，0），AB=，OC=，由旋转性质知O
7、D=OC=，COD=60，DOE=30，DE=OD=k，OE=ODcos30=（）=k，即D（k，k），反比例函数y=（k0）的图象经过D点，k=（k）（k）=k2，解得：k=0（舍）或k=，故答案为：典例9 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若OBC的面积为9，则k=_【答案】6【解析】如图，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，ODE的面积和OAC的面积相等OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9设点D的横坐标为x，纵坐标就为，D为OB的中点EA=x，AB=，四边形DEAB的面积可表示为：（+）x=9；k=6故答案为：6【名师点睛】过反比例函数图象
8、上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算8如图，A、B两点在双曲线的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则A8B6C5D49如图，点A，B是反比例函数y=（x0）图象上的两点，过点A，B分别作ACx轴于点C，BDx轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，SBCD=3，则SAOC为A2B3C4D610如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=
9、（x0）的图象上运动，且AC=BC，则ABC的面积大小变化情况是A一直不变B先增大后减小C先减小后增大D先增大后不变考向五 反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题典例10 在同一平面直角坐标系中，函数与函数y=x的图象交点个数是A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】y=x的图象是过原点经过一、
10、三象限，的图象在第二、四象限内，但不过原点，两个函数图象不可能相交，故选A典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1y2时，x的取值范围是Ax-1或0x3B-1x3C-1x3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），当y1y2时，-1x3，故选B【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用典例12 如图，已知直线y=x+与双曲线y=（x0）交于A、B两点，连接OA，若OAAB，则k的值为ABCD【答案】B【解析】如图，
11、过A作AEOD于E，直线解析式为y=x+，C（0，），D（3，0），OC=，OD=3，RtCOD中，CD=10，OAAB，CODO=CDAO，AO=3，AD=9，ODAE=AOAD，AE=，RtAOE中，OE=，A（，），代入双曲线y=，可得k=，故选B11已知反比例函数y=（k0），当x0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图象经过A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限12如图，已知A（4，n），B（2，4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积考向六 反比例函数的应用用
12、反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0x40），反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（m
13、in）之间的函数关系（40x？）根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是_；（2）求反比例函数y=_的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值【解析】（1）当0x40时，设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，（10，35）和（30，65）在y=ax+b的图象上，把（10，35）和（30，65）代入y=ax+b，得，得，y=1.5x+20，当x=0时，y=1.50+20=20，故答案为：20；（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，点E（40，80），点E在反比例函数y=的图象上，80=，得k=3200，即反比例函数y=，当y=20时
14、，20=，得x=160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是16013如图为某种材料温度y（）随时间x（min）变化的函数图象已知该材料初始温度为15，温度上升阶段y与时间x成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60后开始下降；温度下降阶段，温度y与时间x成反比例关系（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y与x间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？1下列函数中，y是x的反比例函数的是Ax(y1)=1B2已知反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是Ak8Bk8Ck8Dk0）及y2=（x0）的图象分别交于
15、点A，B，连接OA，OB，已知OAB的面积为2，则k1-k2的值为A2B3C4D-44若点A（5，y1），B（3，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是Ay1y3y2By2y1y3Cy3y2y1Dy1y2y2的解集是A-3x2Bx2C-3x2D0x26一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab0，a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MCx轴于点C，交y=的图象于点A；MDy轴于点D，交y=的图象于点B当点M在y=的图象上运动时，以下结论：SODB=SOCA；四边形OAMB的面积不变；当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点其中正确
16、结论的个数是A0个B1个C2个D3个8如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将BDE沿DE翻折至BDE处，点B恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是A-B-C-D-9已知、在同一个反比例函数图像上，则_10如图，直线分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作ACx轴于点C，BDx轴交于点D，则四边形ABCD的面积是_11如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x0）的图象上，ACx轴，BDx轴，垂
17、足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且BCE的面积是ADE的面积的2倍，则k的值是_13如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围14如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；（3）求方程的解集（请直接写出答案）15一般情况下，中学生完
18、成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1（2019安徽）已知点A（1，3）关于x轴的对称点A在反比例函数y=的图象上，则实数k的值为A3BC3D2（2019广西）若点（1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=（ky2y3By3y2y1Cy1y3y2Dy2y3y13（2019鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与y=（k为常数，且k0）的图象
19、大致是ABCD4（2019河北）如图，函数y=的图象所在坐标系的原点是A点MB点NC点PD点Q5（2019黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=上，顶点B在反比例函数y=上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是ABC4D66（2019北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a0，b0）在双曲线y=上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y=，则k1+k2的值为_7（2019山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（4，0），点D的坐标为（1，4），反比例函数y=（x0）的
20、图象恰好经过点C，则k的值为_8（2019福建）如图，菱形ABCD顶点A在函数y=（x0）的图象上，函数y=（k3，x0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，BAD=30，则k=_9（2019吉林）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值10（2019广东）如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（4，n）（1）根据图象，直接写出满足k1x+b的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且SAOPSBOP=12，求点
21、P的坐标变式拓展1【答案】C【解析】不是正比例函数，是反比例函数，故选C2【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k=40，其图象在一三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C3【答案】C【解析】A、为一次函数，k的值大于0，y随x的增大而增大，不符合题意；B、为一次函数，k的值大于0，y随x的增大而增大，不符合题意；C、为反比例函数，k的值大于0，x0时，y随x的增大而减小，符合题意；D、为反比例函数，k的值小于0，x0时，y随x的增大而增大，不符合题意；故选C4【答案】B【解析】由图知，y=的图象在第二象限，y=，y=的图象在第一
22、象限，k10，k30，又当x=1时，有k2k2k1，故选B5【答案】C【解析】反比例函数y=-中，k=-6，只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C6【答案】B【解析】设A点坐标为（x，y）A点到x轴的距离为3，|y|=3，y=3A点到原点的距离为5，x2y2=52，解得x=4，点A在第二象限，x=-4，y=3，点A的坐标为（-4，3），设反比例函数的解析式为y=，k=-43=-12，反比例函数的解析式为y=，故选B7【答案】y=【解析】点P（2，a）在反比例函数y=的图象上，代入得：a=1，即P点的坐标为（2，1），把点P向上平移2个单位，再向右平
23、移3个单位得到点Q，Q的坐标是（5，3），设经过点Q的反比例函数的解析式是y=，把Q点的坐标代入得：c=15，即y=，故答案为：y=8【答案】B【解析】点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，S1+S2=4+4-12=6，故选B9【答案】D【解析】在RtBCD中，CDBD=3，CD3=3，CD=2，C（2，0），OC=2，OD=4，B（4，3），点B是反比例函数y=（x0）图象上的点，k=12，ACx轴，SAOC=6，故选D10【答案】A【解析】如图，作CDAB交AB于点D，则SACD=，AC=BC，AD
24、=BD，SACD=SBCD，SABC=2SACD=2=k，ABC的面积不变，故选A11【答案】B【解析】当x0时，y随x的增大而增大，反比例函数（k0）的图象在二、四象限，k0，一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B12【解析】（1）B（2，4）在y=图象上，m=8反比例函数的解析式为y=点A（4，n）在y=图象上，n=2，A（4，2）一次函数y=kx+b图象经过A（4，2），B（2，4），解得一次函数的解析式为y=x2；（2）如图，令一次函数y=x2的图象与y轴交于C点，当x=0时，y=2，点C（0，2）OC=2，SAOB=SACO+SBCO=24+22=613【解析】（1）
25、当0x5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y=9x+15，当x15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=，由于图象过点（5，60），所以m=300则y=；（2）当0x，当x5时，y=30，得x=10，因为y随x的增大而减小，所以x0，解得k8，故选A3【答案】C【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：AOP的面积为，BOP的面积为，AOB的面积为，=2，k1k2=4，故选C4【答案】B【解析】点（5，y1）、（3，y2）、（2，y3）都在反比例函数y=上，y1=，y2=1，y3=1，y2y1y2的解集是-3x2，故
26、选C6【答案】C【解析】A由一次函数图象过一、三象限，得a0，交y轴负半轴，则b0，满足ab0，反比例函数y=的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B由一次函数图象过二、四象限，得a0，满足ab0，ab0，交y轴负半轴，则b0，满足ab0，反比例函数y=的图象过一、三象限，所以此选项正确；D由一次函数图象过二、四象限，得a0，交y轴负半轴，则b0，与已知相矛盾，所以此选项不正确，故选C7【答案】D【解析】根据反比例函数的图象与系数k的意义，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1y1=x2y2=2可知SODB=SOCA=1，故正确；同样可知四边形OCMD的面积为a，因此四边形OAMB的面
27、积为a2，故不会发生变化，故正确；当点A是MC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=a中，得2x1y1=a，a=4，由题得，整理得x1=2x2，因此B为MD的中点，故正确，故选D8【答案】B【解析】矩形OABC，CBx轴，ABy轴，点B坐标为（6，4），D的横坐标为6，E的纵坐标为4，D，E在反比例函数y=的图象上，D（6，1），E（，4），BE=6-=，BD=4-1=3，ED=，连接BB，交ED于F，过B作BGBC于G，B，B关于ED对称，BF=BF，BBED，BFED=BEBD，即BF=3，BF=，BB=，设EG=x，则BG=-x，BB2-BG2=BG2=EB2-GE2，（）2-（-x）2
28、=（）2-x2，x=，EG=，CG=，BG=，B（，-），k=-，故选B9【答案】【解析】设反比例函数解析式为，将、分别代入，得，故答案为：10【答案】5【解析】如图，过点作轴，垂足于点；过点作轴，垂足为点点是中点，易得APFBPE，,，故答案为511【答案】-4【解析】正方形ABCD的边长为2，AB=AD=2，设B（，2），E是CD边中点，E（-2，1），-2=k，解得k=-4，故答案为：-412【答案】【解析】如图，过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F， BCE的面积是ADE的面积的2倍，E是AB的中点，SABC=2SBCE，SABD=2SADE，SABC=2SABD，且ABC和ABD的
29、高均为BF，AC=2BD，OD=2OCCD=k，点A的坐标为（，3），点B的坐标为（，），AC=3，BD=，AB=2AC=6，AF=AC+BD=，CD=k=故答案为：13【解析】（1）已知反比例函数经过点A（1，-k+4），即-k+4=k，k=2，A（1，2）一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），2=1+b，b=1，反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y=x+1（2）由，消去y，得x2+x-2=0，即（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1y=-1或y=2或点B在第三象限，点B的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x-2或0x114【
30、解析】（1）B（2，-4）在y=上，m=-8反比例函数的解析式为y=-点A（-4，n）在y=-上，n=2A（-4，2）y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），解之得一次函数的解析式为y=-x-2（2）C是直线AB与x轴的交点，当y=0时，x=-2点C（-2，0）OC=2SAOB=SACO+SBCO=22+24=6（3）不等式的解集为：-4x215【解析】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30，把B（10，50）代入得，k1=2，AB解析式为：y1=2x+30（0x10）设C、D所在双曲线的解析式为，把C（44，50）代入得，k2=2200，曲线CD的解析式为：y2=（x
31、44）；（2）将y=40代入y1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，将y=40代入y2=得：x=5555-5=50所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟直通中考1【答案】A【解析】点A（1，3）关于x轴的对称点A的坐标为（1，3），把A（1，3）代入y=得k=13=3故选A2【答案】C【解析】k0，23，y2y30时，y=x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k0，b0）在双曲线y=上，k1=ab；又点A与点B关于x轴对称，B（a，b），点B在双曲线y=上，k2=ab；k1+k2=ab+（ab）=0，故答案为：07【答案】16【解析】过点C、D作C
32、Ex轴，DFx轴，垂足为E、F，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=DA，易证ADFBCE，点A（4，0），D（1，4），DF=CE=4，OF=1，AF=OAOF=3，在RtADF中，AD=5，OE=EFOF=51=4，C（4，4），k=44=16，故答案为：168【答案】6+2【解析】连接OC，AC，过A作AEx轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DGx轴于点G，函数y=（k3，x0）的图象关于直线AC对称，O、A、C三点在同直线上，且COE=45，OE=AE，不妨设OE=AE=a，则A（a，a），点A在反比例函数y=（x0）的图象上，a2=3，a=，AE=OE=，BAD=30，O
33、AF=CAD=BAD=15，OAE=AOE=45，EAF=30，AF=2，EF=AEtan30=1，AB=AD=2，AF=AD=2，又AEDG，EF=EG=1，DG=2AE=2，OG=OE+EG=+1，D（+1，2），k=2（+1）=6+2故答案为：6+29【解析】（1）因为y是x的反例函数，所以设y=(k0)，当x=2时，y=6所以k=xy=12，所以y=（2）当x=4时，y=310【解析】（1）点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（4，n）由图象可得：k1x+b的x的取值范围是x1或0x4；（2）反比例函数y=的图象过点A（1，4），B（4，n），k2=14=4，k2=4n，n=1，B（4，1），一次函数y=k1x+b的图象过点A，点B，解得k=1，b=3，直线解析式y=x+3，反比例函数的解析式为y=；（3）设直线AB与y轴的交点为C，C（0，3），SAOC=31=，SAOB=SAOC+SBOC=31+34=，SAOP：SBOP=1：2，SAOP=，SCOP=1，3xP=1，xP=，点P在线段AB上，y=+3=，P（，）
