1、第二章综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-2=-2,故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.答案B2.已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,56解析设直线l2的斜率为k.因为直线l1
2、:xcos2+3y+2=0的斜率k1=-cos23-33,0,当cos=0,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为2.当k10时,由l1l2,可知k=-1k13,此时倾斜角的取值范围为3,2.综上可得,l2倾斜角的取值范围为3,2.故选C.答案C3.已知圆A:x2+y2=1,圆B:(x-2)2+y2=r2(r0),圆A与圆B的公切线的条数的可能取值共有()A.2种B.3种C.4种D.5种解析两圆的圆心和半径分别为A(0,0),半径R=1,B(2,0),半径为r,|AB|=2,半径之和为1+r,半径之差为r-1.若两圆相外切,则1+r=2,即r=1,此时两圆公切线有3条,若两圆外离,则1+r2,即
3、0r1,此时两圆公切线有4条,若两圆相交,则r-121+r,即1r2,即r3,此时两圆公切线为0条.即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种.故选D.答案D4.光线自点M(2,3)射到N(1,0)后被x轴反射,则反射光线所在的直线方程为()A.y=3x-3B.y=-3x+3C.y=-3x-3D.y=3x+3解析如图所示,点M关于x轴的对称点M(2,-3).则反射光线所在的直线方程为y-0=-3-02-1(x-1),即y=-3x+3.故选B.答案B5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕点C顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最短距离
4、为()A.82-8B.82+8C.82D.122解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示,A(-10,0)与B(0,10),直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0.则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=828,最短距离为82-8.答案A6.若直线ax+by+2=0(a0,b0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.10解析由题意圆心坐标为(-2,-1),半径为1,所以圆心到直线的距离
5、为d=|-2a-b+2|a2+b2,所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2)2,整理可得2a+b=2,a0,b0,所以1a+2b=1a+2b12(2a+b)=122+2+ba+4ab124+2ba4ab=4,当且仅当b=2a=1时,等号成立.故1a+2b的最小值为4.答案A7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1B.2+2C.22+1D.22+2解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,联立2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=
6、0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).因为OPl,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.故选A.答案A8.在平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1B.2C.3D.4解析以AB为直径的圆的方程为(x-0.02)2+(y-1.56)2=8,因为单位圆与以AB为直径的圆的圆心距d=0.022+1.562,22-1d22+1,所以两圆相交,设交点为C,D,所以当点M
7、运动到C,D时,显然能使MAB为直角三角形,此时M为直角顶点;又过点B且与直线AB垂直的直线显然与单位圆相离,而过点A且与直线AB垂直的直线l的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,圆心(0,0)到直线x+y+0.42=0的距离d=0.4220)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y
8、2)两点代入2ax+2by=a2+b2,得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减,得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.故选ABC.答案ABC11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.8解析圆心C坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),设点P到直线y=kx-1的距离为d.当直线与AC垂直时,
9、点P到直线y=kx-1距离有最大值,即d=(-3)2+(3+1)2+1=6;当直线与圆有交点时d最小为0.所以点P到直线y=kx-1距离的取值范围为0,6,故选ABC.答案ABC12.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|2解析设P(x,y),则kPA+kPB=2,即yx+2+yx-2=2(x2),整理得x2-xy=4(x2),当x=0时,式子不成立,所以x0,所以进一步整理得y=
10、x-4x(x2且x0).函数y=x-4x是奇函数,所以曲线C不是轴对称图形,故C正确,A错误,x2+y2=x2+x-4x2=2x2+16x2-882-82,所以曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外,故B正确;当x=1,y=-3时,满足x2-xy=4,故D错误.故选BC.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.解析根据题意,分2种情况讨论:直线经过原点,则直线l的方程为4x-y=0;直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3,即x-y+3
11、=0.综上可得,直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.答案4x-y=0或x-y+3=014.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是.解析如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),kAC=-52,kBC=43,故-52-a43,即-43a52.答案-43,5215.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(mR)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|CD|的最小值为.解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).C,D分别为
12、OA,AB的中点,|CD|=12|OB|=2.当OPAB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22)2-(2)2=26.|AB|CD|=2|AB|226=43.答案4316.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是(结果用m表示).解析根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在的直线上.又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,则有b
13、a-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0.设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0),线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,即M1(4,4-m),又由M2(-m,0),则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.答案x-2y+2=02m2+32四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(
14、10分)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;(2)直线过点(0,1),且与直线3x+y+1=0垂直.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,点(-1,2)在直线上,-1+2+m=0,m=-1,故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.点(0,1)在直线x-3y+m=0上,0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.(12分)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.(1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|
15、BP|最小时,求此时点P的坐标.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为2,直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点P.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,所以点P的坐标为103,-103.19.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2
16、+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.解(1)直线l:y-1=a(x-3),直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知ABPC,kPC=1-03-1=12,kAB=-2,直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.PAAC,PBBC,四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圆C1:x2+y2=
17、1与圆C2:x2+y2-6x+m=0(m0).(1)如图1,点B为曲线上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图1,点B为曲线上的动点,点A(2,0),求三角形OAB面积的最大值,并求出此时点B的坐标;(3)如图2,点B为曲线上的动点,点A(2,0),将OAB绕点A顺时针旋转90得到DAC,求线段OC长度的最大值.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y00,设线段AB的中点为M(x,y),由于点B在曲线上,则x02+y02=1,因为M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y,代入式得(2x-2)2+(2y)2=1,化简得(x-1)2
18、+y2=14(y0).(2)设B(x0,y0),02)上运动,问题转化为,原点O到曲线D上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线D于点C,当点C与点C重合时,|OC|取最大值,且|OC|max=|OD|+1=22+1.22.(12分)已知圆心为C的圆过点(3,3),且与直线y=2相切于点(0,2).(1)求圆C的方程;(2)已知点M(-3,4),且对于圆C上任一点P,线段MC上存在异于点M的一点N,使得|PM|=|PN|(为常数),试判断使OPN的面积等于4的点P有几个,并说明理由.解(1)依题意可设圆心C坐标为(0,t),则半径为|t-2|,圆C的方程可写成x2+(y-t)2=(t-2)
19、2.因为圆C过点(3,3),所以(3)2+(3-t)2=(t-2)2,所以t=4,则圆C的方程为x2+(y-4)2=4.(2)2个.理由如下:由题知,直线MC的方程为y=4,设N(b,4),b-3满足题意,设P(x,y),则|PM|2=2|PN|2,所以(x+3)2+(y-4)2=2(x-b)2+2(y-4)2,则(6+2b2)x-(2b2+42-13)=0,因为上式对任意x-2,2恒成立,所以6+2b2=0,2b2+42-13=0,解得=32,b=-43或=1,b=-3(舍去,此时点N与点M重合),所以点N-43,4,则ON=4103,kON=-3,直线ON的方程为3x+y=0,点C到直线ON的距离d1=410=2105.若存在点P使OPN的面积等于4,设点P到直线ON的距离为d2,则SOPN=124103d2=4,解得d2=3105.当点P在直线ON的上方时,点P到直线ON的距离的取值范围为0,2105+2,因为31052-2105,所以当点P在直线ON的下方时,使OPN的面积等于4的点有0个.综上可知,使OPN的面积等于4的点P有2个.10
