1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b,作=a,=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角的取值范围是,a与b同向时,夹角=;a与b反向时,夹角=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角=,则a与b垂直,记作.OAOBab非零01800180902.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量叫做a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=,并规定零向量与任一向量的数量积为.(2)一向量在另一向量方向上的投影定义设是a和b的夹角,则叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做的投
2、影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是,当900，即ab2(a2b2)ab0.把ab3，a2b2|a|2|b|22911代入上式得321130，解得 ，又因为ab与ab的夹角为锐角，所以即1，所以23 232118561185611851185(,)(,1)(1,)66题型四 向量在几何中的应用【例4】已知等腰直角三角形AOB中，AC、BD为两直角边上的中线，求AC、BD相交所形成的钝角的余弦值.分析：角的计算，可归结为两个向量的夹角的计算本题适当建立坐标系后，正确地写出相关点的坐标及向量的坐标，即可通过运算求解.解析：如图，分别以等腰直角三角形AOB的两直角边为x轴
3、、y轴建立直角坐标系，设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)(a0)，(2a，a)，(a，2a)AC、BD相交形成的钝角即为与的夹角，cos即AC、BD相交形成的钝角的余弦值为.ACBDACBD222,24455|55AC BDa aaaaaACBDaa 4522221AD=(AB+AC)22BC变式4-1已知ABC中，AD为中线，求证：解析：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设A(a，b)，C(c,0)，则，则(ca，b)，=(c,0),02cD,=(-a,-b)2cADabABAOACBCOC222222()-ac+a+b24ccADa
4、b222222222221|1()()()22244BCcABACabcabcabac22221|()()|22BCABACAD所以即22221AD=(AB+AC)22BC易错警示【例1】若正ABC的边长为1，则=_.错解 由于正ABC的边长为1，所以A=B=C=60，所以BC BA1cos C=2BC BABC BA正解：与的夹角为180BCA120，所以.BCCA与1cos C=-2BC BABC BA993 2【例2】设e1、e2是夹角为45的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，求|a+b|的值错解 a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2，a+b=(3,3)，|a+b|=.正解：ab3(e1e2)，|ab|3(e1e2)|3212ee2221212122212123323|2|453 22cos eeeee eeeee(2010重庆)已知向量a，b满足ab=0，|a|=1，|b|=2，则|2a-b|=_.知识准备：1.要熟悉向量模的计算，即|a|=2.要知道向量的完全平方公式，即(ab)2=a22ab+b2.解2a链接高考22a-b-b42 2.aa bb242（2a）
