1、学业分层测评(五)三角形中的几何计算(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知方程x2sin A2xsin Bsin C0有重根，则ABC的三边a，b，c的关系满足()Abac Bb2acCabc D.cab【解析】由方程有重根，4sin2B4sin Asin C0，即sin2Bsin Asin C，b2ac.【答案】B2在ABC中，A60，b1，SABC，则角A的对边的长为()A. B. C. D.【解析】SABCbcsin A1csin 60，c4.由余弦定理a2b2c22bccos 6011621413.a.【答案】D3在ABC中，a1，B45，SABC2，则此三角形的外接圆的半径R
2、()A. B1 C2 D.【解析】SABCacsin Bc2，c4.b2a2c22accos B132825，b5.R.【答案】D4在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于() 【导学号：33300026】A. B.C. D.【解析】在ABC中，由余弦定理可知：AC2AB2BC22ABBCcos B，即7AB2422AB.整理得AB22AB30.解得AB1(舍去)或AB3.故BC边上的高ADABsin B3sin 60.【答案】B5设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC,3b20acos A，则sin Asin Bsin C为()
3、A432 B567C543 D.654【解析】由题意知：ab1，cb1，所以3b20acos A20(b1)20(b1)，整理得7b227b400，解之得：b5(负值舍去)，可知a6，c4.结合正弦定理可知sin Asin Bsin C654.【答案】D二、填空题6在ABC中，B60，AB1，BC4，则BC边上的中线AD的长为_【解析】画出三角形知AD2AB2BD22ABBDcos 603，AD.【答案】7有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x27x60的根，则此三角形的面积是_cm2.【解析】解方程5x27x60，得x2或x，|cos |1，cos ，sin .
4、故S356(cm2)【答案】68(2016郑州模拟)在ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_【解析】由余弦定理得b2a2c22accos B，即49a22525acos 120.整理得a25a240，解得a3或a8(舍)SABCacsin B35sin 120.【答案】三、解答题9已知ABC的三内角满足cos(AB)cos(AB)15sin2C，求证：a2b25c2. 【导学号：33300027】【证明】由已知得cos2Acos2Bsin2Asin2B15sin2C，(1sin2A)(1sin2B)sin2Asin2B15sin2C，1sin2Asin2B15sin2C，sin
5、2Asin2B5sin2C.由正弦定理得，所以2252，即a2b25c2.10(2014全国卷)四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积【解】(1)由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由，得cos C，故C60，BD.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin 602.能力提升1已知锐角ABC中，|4，|1，ABC的面积为，则的值为()A2 B2 C4 D.4【解析】由题意SABC|sin A，得sin A，又
6、ABC为锐角三角形，cos A，|cos A2.【答案】A2在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，则角A的值为()A. B. C. D.【解析】由题意知，sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，在等式cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C两边除以cos Bcos C得tan Btan C，tan(BC)1tan A，所以角A.【答案】A3(2015天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_【解析】在ABC中，由cos A可得sin A，所以有解得【答案】84(2015陕西高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积【解】(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A.由于0A0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B.又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为absin C.
