1、数列【学法导航】高考资源网(一)方法总结高考资源网1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关系式求通项2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。高考资源网3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个方向高考资源网(二)复习建议在进行数列二轮复习时,建议可以具体从以下几个方面着手:1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;2注意等差、等比数列的性质的灵活运用;高考资源网3注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题
2、中的应用; 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式;高考资源网5根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳; 6掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系;7根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列;高考资源网8掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和(4)倒序相加法(5)公式法。9以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用【专题综合】高考资源网1. 等差、等比数列的概念与性质例1. 已知公差大于零的等差数列的前
3、项和为,且满足:(1)求通项;(2)若数列是等差数列,且,求非零常数;解:(1)设数列的公差为高考资源网由题意得: 或 (舍去)所以:(2)高考资源网由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立即:高考资源网 或 (舍去)高考资源网所以高考资源网点评:本题考查了等差数列的基本知识,第二问,判断数列是等差数列的条件,要抓住它的特征,充分应用等差数列的判断条件,转化为恒成立问题。 例2.设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an (nN*)是等差数列,数列bn2(nN*)是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;高考资源网(2)是否存在kN*,使a
4、kbk(0,)?若存在,求出k;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得: =所以 ()上式对也成立所以 高考资源网所以 高考资源网(2)当 时 当时 故不存在正整数使高考资源网2. 求数列的通项与求和例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:123456789101112131415按照以上排列的规律,第行()从左向右的第3个数为 解:前n1 行共有正整数12(n1)个,即个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第3个,即为高考资源网点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力高考资源网例4.(2009年广东卷文)已知
5、点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足=+().(1)求数列和的通项公式;高考资源网(2)若数列前项和为,问的最小正整数是多少? 解:(1),高考资源网 , . 高考资源网又数列成等比数列, ,所以 ;又公比,所以 ; 又, ;高考资源网数列构成一个首相为1公差为1的等差数列, , 当, ;高考资源网();(2) ;高考资源网 由得,满足的最小正整数为112.3. 数列与不等式的联系高考资源网例5.(届高三湖南益阳)已知等比数列的首项为,公比满足。又已知,成等差数列。高考资源网 (1)求数列的通项 高考资源网(2)令,求证:对于任意,都有(1)解: 高
6、考资源网(2)证明: , 高考资源网点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第()问,采用裂项相消法法,求出数列之和,由n的范围证出不等式例、(2008辽宁理) 在数列,中,a1=2,b1=4,且成等差数列,成等比数列()高考资源网(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测,的通项公式,并证明你的结论;(2)证明:解:()由条件得由此可得猜测高考资源网用数学归纳法证明:当n=1时,由上可得结论成立高考资源网假设当n=k时,结论成立,即,那么当n=k+1时,所以当n=k+1时,结论也成立由,可知对一切正整数都成立高考资源网(2)n2时,由()知高考资源网故高考资源
7、网高考资源网综上,原不等式成立点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力4. 数列与函数、概率等的联系高考资源网例7.(江西理)将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为() 解:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类:(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的有4个,共有18个,成等差数列的概率为,选B高考资源网点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复。例8. 已知数列的前项和为,对一
8、切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为高考资源网 (1)求数列的通项公式 (2)若,求数列的前项和高考资源网(3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,求的通项公式.解:(1)点都在函数的图像上,,当时,高考资源网当1时,满足上式,所以数列的通项公式为 (2)由求导可得过点的切线的斜率为,.高考资源网.由4,得高考资源网-得: 高考资源网 (3),.又,其中是中的最小数,.是公差是4的倍数,.高考资源网又,,解得27.所以,高考资源网设等差数列的公差为,则高考资源网,所以的通项公式为 【专题突破】高考资源网一、选择题1 已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则( )A B C D
9、 高考资源网2 设是等差数列的前n项和,若( )A B C D 高考资源网3 若成等差数列,则的值等于( )A B 或 C D 高考资源网4 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是( )A B C D 5 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( )高考资源网A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对6 在等差数列中,设,则关系为( )高考资源网A 等差数列 B 等比数列 C 等差数列或等比数列 D 都不对 7已知等差数列an的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线 (该直线不过原点
10、O),则S200( )高考资源网A100 B101 C200 D2018在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( )A B C D高考资源网9设,则等于( )高考资源网A B C D10弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩下的弹子有( )高考资源网A3 B4 C8 D911设数列的前n项和为,令,称为数列,的“理想数”,已知数列,的“理想数”为2004,那么数列2, ,的“理想数”为( )高考资源网A2002 B2004 C2006 D200812已知数列对任意的满足,且,那么等于( )ABCD高考资源网二、填空题13
11、等差数列an的前n项和为Sn,且a4a28,a3a526,记Tn,如果存在正整数M,使得对一切正整数n,TnM都成立则M的最小值是_高考资源网14无穷等比数列an中,a11,|q|1,且除a1外其余各项之和不大于a1的一半,则q的取值范围是_.高考资源网15已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是_.高考资源网16在等差数列中,公差,前项的和,则=_ 高考资源网三、解答题17. 设为等比数列,已知。(1)求数列an的首项和公比;(2)求数列的通项公式。高考资源网18. 已知数列的前项和满足高考资源网(1) 写出数列的前三项;高考资源网(2) 求证数列为等
12、比数列,并求出的通项公式高考资源网19. 数列an的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,)证明:(1)数列是等比数列;(2)Sn+1=4an. 高考资源网20. 设数列的前项和为 已知(1)设,证明数列是等比数列 (2)求数列的通项公式。21. 已知数列an中a12,an+1(1)( an2),n1,2,3,. 高考资源网(1)求an的通项公式;(2)若数列an中b12,bn+1,n1,2,3,.证明:bna4n-3,n1,2,3,22. 已知数列满足且对一切,有 高考资源网(1)求证:对一切高考资源网(2)求数列通项公式. 高考资源网(3)求证:高考资源网专题突破
13、参考答案一、选择题1 B 高考资源网2 A 高考资源网3 D 4 D 设三边为则,即 得,即5 B 高考资源网 ,都是锐角高考资源网6 A 成等差数列7A依题意,a1a2001,故选A高考资源网8C因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则 即,所以,故选择答案C9Df(n)=,选D高考资源网10B正四面体的特征和题设构造过程,第k层为k个连续自然数的和,化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有,k最大为6,剩4,选B11A认识信息,理解理想数的意义有,选A12C由已知+ -12,+24,=+= -30,选C二、填空题高考资源网132 解析:由a4a28,可得公差d4,再由a
14、3a526,可得a11,故Snn2n(n1)2n2n,Tn,要使得TnM,只需M2即可,故M的最小值为2,答案:2高考资源网14(1,0(0, 高考资源网解析:q,但|q|1,且q0,故q(1,0(0,.154 解析:4.16解析: 三、解答题17. 解:(1)高考资源网 又为等比数列,故, 故 (2) 得 高考资源网 18解:(1)在中分别令 得: 解得:高考资源网(2)由得:高考资源网两式相减得:即:高考资源网故数列是以为首项,公比为2的等比数列高考资源网所以 高考资源网19. 解:(1)由 得: 即所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列高考资源网(2)由(1)得 高考资源网所以
15、所以 20. 解:(I)由及,有高考资源网由, 则当时,有得高考资源网又,是首项,公比为的等比数列(2)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列高考资源网, 21. 解:(1)由题设:an+1(1)(an2)(1)(an)(1)(2),(1)(an),an+1(1)(an)所以,数列ana是首项为2,公比为1)的等比数列高考资源网,an(1)n,高考资源网即an的通项公式为an(1)n1,n1,2,3,.(2)用数学归纳法证明()当n1时,因2,b1a12,所以b1a1,结论成立()假设当nk时,结论成立,即bka4k-3,也即0bna4k-3,当nk1时,bk+10,又32,所以bk+1(32)2(bk)(1)4(a4k-3)a4k+1高考资源网也就是说,当nk1时,结论成立 高考资源网根据()和()知bna4n-3,n1,2,3,.22. 解: (1) 证明: . - : 高考资源网 () 高考资源网(2)解:由及两式相减,得: 高考资源网 高考资源网 . (3) 证明: 高考资源网高考资源网高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m