1、数列【学法导航】高考资源网（一）方法总结高考资源网1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。高考资源网3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向高考资源网（二）复习建议在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；高考资源网3注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题
2、中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；高考资源网5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；高考资源网8掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和（4）倒序相加法（5）公式法。9以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用【专题综合】高考资源网1. 等差、等比数列的概念与性质例1. 已知公差大于零的等差数列的前
3、项和为，且满足：（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；解：（1）设数列的公差为高考资源网由题意得： 或 （舍去）所以：（2）高考资源网由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立即：高考资源网 或 （舍去）高考资源网所以高考资源网点评：本题考查了等差数列的基本知识，第二问，判断数列是等差数列的条件，要抓住它的特征，充分应用等差数列的判断条件，转化为恒成立问题。 例2.设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nN*）是等差数列，数列bn2(nN*)是等比数列.（1）求数列an和bn的通项公式；高考资源网（2）是否存在kN*，使a
4、kbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（1）由题意得： =所以 （）上式对也成立所以 高考资源网所以 高考资源网（2）当 时 当时 故不存在正整数使高考资源网2. 求数列的通项与求和例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 解：前n1 行共有正整数12（n1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第3个，即为高考资源网点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力高考资源网例4.(2009年广东卷文)已知
5、点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；高考资源网（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? 解：（1）,高考资源网 , . 高考资源网又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；高考资源网数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；高考资源网()；（2） ；高考资源网 由得，满足的最小正整数为112.3. 数列与不等式的联系高考资源网例5.（届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，成等差数列。高考资源网 （1）求数列的通项 高考资源网（2）令，求证：对于任意，都有（1）解： 高
6、考资源网（2）证明： ， 高考资源网点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式例、(2008辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）高考资源网（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：解：（）由条件得由此可得猜测高考资源网用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立高考资源网假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立高考资源网（2）n2时，由（）知高考资源网故高考资源
7、网高考资源网综上，原不等式成立点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力4. 数列与函数、概率等的联系高考资源网例7.（江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（） 解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B高考资源网点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。例8. 已知数列的前项和为，对一
8、切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为高考资源网 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列的前项和高考资源网（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，高考资源网当1时，满足上式，所以数列的通项公式为 （2）由求导可得过点的切线的斜率为，.高考资源网.由4，得高考资源网-得： 高考资源网 （3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.高考资源网又，,解得27.所以，高考资源网设等差数列的公差为，则高考资源网，所以的通项公式为 【专题突破】高考资源网一、选择题1 已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）A B C D
9、 高考资源网2 设是等差数列的前n项和，若（ ）A B C D 高考资源网3 若成等差数列，则的值等于（ ）A B 或 C D 高考资源网4 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）A B C D 5 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）高考资源网A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对6 在等差数列中，设，则关系为（ ）高考资源网A 等差数列 B 等比数列 C 等差数列或等比数列 D 都不对 7已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线 （该直线不过原点
10、O），则S200（ ）高考资源网A100 B101 C200 D2018在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）A B C D高考资源网9设，则等于（ ）高考资源网A B C D10弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有（ ）高考资源网A3 B4 C8 D911设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2， ，的“理想数”为（ ）高考资源网A2002 B2004 C2006 D200812已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）ABCD高考资源网二、填空题13
11、等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立则M的最小值是_高考资源网14无穷等比数列an中，a11，|q|1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是_.高考资源网15已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_.高考资源网16在等差数列中，公差，前项的和，则=_ 高考资源网三、解答题17. 设为等比数列，已知。（1）求数列an的首项和公比；（2）求数列的通项公式。高考资源网18. 已知数列的前项和满足高考资源网（1） 写出数列的前三项；高考资源网（2） 求证数列为等
12、比数列，并求出的通项公式高考资源网19. 数列an的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)证明：（1）数列是等比数列；（2）Sn+1=4an. 高考资源网20. 设数列的前项和为 已知（1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。21. 已知数列an中a12，an+1(1)( an2)，n1，2，3，. 高考资源网（1）求an的通项公式；（2）若数列an中b12，bn+1，n1，2，3，.证明：bna4n-3，n1，2，3，22. 已知数列满足且对一切,有 高考资源网（1）求证：对一切高考资源网（2）求数列通项公式. 高考资源网（3）求证：高考资源网专题突破
13、参考答案一、选择题1 B 高考资源网2 A 高考资源网3 D 4 D 设三边为则，即 得，即5 B 高考资源网 ，都是锐角高考资源网6 A 成等差数列7A依题意，a1a2001，故选A高考资源网8C因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 即，所以，故选择答案C9Df（n）=，选D高考资源网10B正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩4，选B11A认识信息，理解理想数的意义有，选A12C由已知+ -12，+24,=+= -30，选C二、填空题高考资源网132 解析：由a4a28，可得公差d4，再由a
14、3a526，可得a11，故Snn2n(n1)2n2n，Tn，要使得TnM，只需M2即可，故M的最小值为2，答案：2高考资源网14(1，0(0， 高考资源网解析：q，但|q|1，且q0，故q(1，0(0，.154 解析：4.16解析： 三、解答题17. 解：（1）高考资源网 又为等比数列，故， 故 （2） 得 高考资源网 18解：（1）在中分别令 得： 解得：高考资源网（2）由得：高考资源网两式相减得：即：高考资源网故数列是以为首项，公比为2的等比数列高考资源网所以 高考资源网19. 解：（1）由 得： 即所以 所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列高考资源网（2）由（1）得 高考资源网所以
15、所以 20. 解：（I）由及，有高考资源网由， 则当时，有得高考资源网又，是首项，公比为的等比数列（2）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列高考资源网， 21. 解：（1）由题设：an+1(1)(an2)(1)(an)(1)(2)，(1)(an)，an+1(1)(an)所以，数列ana是首项为2，公比为1)的等比数列高考资源网，an(1)n，高考资源网即an的通项公式为an(1)n1，n1，2，3，.（2）用数学归纳法证明（）当n1时，因2，b1a12，所以b1a1，结论成立（）假设当nk时，结论成立，即bka4k-3，也即0bna4k-3，当nk1时，bk+10，又32，所以bk+1(32)2(bk)(1)4(a4k-3)a4k+1高考资源网也就是说，当nk1时，结论成立 高考资源网根据（）和（）知bna4n-3，n1，2，3，.22. 解: (1) 证明: . - ： 高考资源网 () 高考资源网(2)解：由及两式相减,得: 高考资源网 高考资源网 . (3) 证明: 高考资源网高考资源网高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m