1、一元一次不等式与不等式组全章复习与巩固(提高)知识讲解责编:康红梅 【学习目标】1.理解不等式的有关概念,掌握不等式的基本性质;2.理解不等式的解(解集)的意义,掌握在数轴上表示不等式的解集的方法;3.会利用不等式的基本性质,熟练解一元一次不等式或不等式组; 4.会根据题中的不等关系建立不等式(组),解决实际应用问题;5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动,理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式:用符号“”(或“”),“”(或“”),连接的式子叫做不等式.要点诠释:(1)不等式的解:能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的
2、解.(2)不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集解集的表示方法一般有两种:一种是用最简的不等式表示,例如,等;另一种是用数轴表示,如下图所示:(3)解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式2. 不等式的性质:不等式的基本性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变用式子表示:如果ab,那么acbc不等式的基本性质2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变用式子表示:如果ab,c0,那么acbc(或)不等式的基本性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变用式子表示:如果ab,c0,那么acbc(或)要点二、一元
3、一次不等式1. 定义:不等式的左右两边都是整式,经过化简后只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的不等式叫做一元一次不等式,要点诠释:ax+b0或ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式2.解法:解一元一次不等式步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释:不等式解集的表示:在数轴上表示不等式的解集,要注意的是“三定”:一是定边界点,二是定方向,三是定空实.3.应用:列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似,即:(1)审:认真审题,分清已知量、未知量;(2)设:设出适当的未知数;(3)找:找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字,如“大于”“小于”“
4、不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义;(4)列:根据题中的不等关系,列出不等式;(5)解:解出所列的不等式的解集;(6)答:检验是否符合题意,写出答案.要点诠释:列一元一次不等式解应用题时,经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语,弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.要点诠释:(1)不等式组的解集:不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.(2)解不等式组:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.(3)一元一次不
5、等式组的解法:分别解出各不等式,把解集表示在数轴上,取所有解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.(4)一元一次不等式组的应用: 根据题意构建不等式组,解这个不等式组;由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案【典型例题】类型一、不等式1.用适当的语言翻译下列小题:(1)x与9的差是正数或0;(2)b与-5的和既不是正数也不是负数;(3)y的5倍既大于x又小于3x+2;(4)a的2倍与-4的差小于5或大于7;(5)0;(6);(7)(8)【答案与解析】解:(1)x -90;(2)b+(-5)=0;(3)x5y3x+2;(4)2a-(-4)5或2a-(-4)7;(5)y的一半与x的差
6、非负;(6)x的一半与3的差既大于-2又小于0;(7)x-3或写作:大于-3的数;(8)2x3或写作:既大于2又小于等于3的数.【总结升华】对“既又”,“既是也是”,“是或是”等连接词也要逐步领会积累2. 设xy,试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小,如果较大的代数式为正数,则其中最小的正整数x或y的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小,可以运用不等式的性质得出比较方法。【答案与解析】解:可利用作差比较法比较大小 -(8-l0x)- -(8-l0y) =-8+10x+8-10y =10x -10y xy,10x10y,10x -10y0 -(8-l0x)-(8-l0y)
7、按题意-(8-l0x)0,则10x8 x的最小正整数值是1【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断:举一反三:【变式】己知:x0.5,比较2-4x和18x-9的大小.【答案】解:2-4x-(18x-9)=11-22x而又x0.5,-22x-11即 11-22x02-4x18x-9类型二、一元一次不等式 【高清课堂:一元一次不等式章节复习 410551 例3(3)】3. 已知关于x的不等式的解集是,求a的取值范围. 【答案与解析】解:法一:,它的解集为, . 法二:是关于x方程 的解,解得. 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三:【变式1】( 南通)关于x的不等式
8、xb0恰有两个负整数解,则b的取值范围是()A3b2B3b2C3b2D3b2【答案】D解得:xb,不等式的负整数解只有两个负整数解,3b2【变式2】已知x=-4是不等式ax9的解集中的一个值,试求a的取值范围.【答案】将x=-4代入不等式ax9中,得 4a9,解得. 所以a的取值范围. 类型三、一元一次不等式组4. 求不等式组的整数解. 【思路点拨】分别解出各不等式,取所有的公共部分.【答案与解析】解:解不等式得:x2解不等式得:x1解不等式得:x-2不等式组的解集为1x2故不等式组的整数解为1,0,1【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集,再从中找出符合要求的特殊解【
9、高清课堂:一元一次不等式章节复习 410551 例4(2)】举一反三:【变式】若关于不等式组只有四个整数解,求a的取值范围.【答案】解:由,得, 由,得, 不等式组的解集为, 只有四个整数解,16,即, a的取值范围:.5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台三种家电的进价和售价如下表所示: 价格种类进价(元/台)售价(元/台)电视机20002100冰 箱24002500洗衣机16001700 (1)在不超出现有资金的前提下,若购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半,商场有哪几种进货方案? (2)国家规定:农民购买家
10、电后,可根据商场售价的13领取补贴在(1)的条件下,如果这15台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元?【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台,则洗衣机为(15-2x)台根据两个关键词:“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组,根据x的取值讨论确定进货方案(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴,再比较确定国家财政的最多补贴【答案与解析】解:(1)设购进电视机、冰箱各x台依题意,得解这个不等式组得,6x7 x为正整数 x6或7方案一:购进电视机和冰箱各6台,洗衣机3台;方案二:购进电视机和冰箱各7台,洗衣机1台(2)方案1需补贴:(62100+62500+31700)134251
11、(元)方案二需补贴:(72100+72500+11700)134407(元) 国家财政最多需补贴农民4407元【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是:根据题意构建不等式(组);解这个不等式(组);由不等式(组)的整数解的个数确定方案类型四、综合应用6.已知不等式组的解集为,试求m,n的值【答案与解析】解:解不等式0,得解不等式 n-4(x-1)1,得因为不等式组的解集为2,所以有, 答:m、n的值分别1和3【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集,再求出这个不等式组的解集,然后根据题意,建立关于m、n的方程求解7. ( 东莞)某电器商场销售A、B两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每
12、台30元,40元,商场销售5台A型号和1台B型号计算器,可获利润76元;销售6台A型号和3台B型号计算器,可获利润120元(1)求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格进货价格)(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台,问最少需要购进A型号的计算器多少台?【答案与解析】解:(1)设A种型号计算器的销售价格是x元,B种型号计算器的销售价格是y元,由题意得:,解得:;答:A种型号计算器的销售价格是42元,B种型号计算器的销售价格是56元;(2)设购进A型计算器a台,则购进B台计算器:(70a)台,则30a+40(70a)2500,解得:a
13、30,答:最少需要购进A型号的计算器30台【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用,根据题意得出总的进货费用是解题关键举一反三:【变式】某花农培育甲种花木2株,乙种花木3株,共需成本1700元;培育甲种花木3株,乙种花木1株,共需成本1500元(1)求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元?(2)据市场调研,1株甲种花木售价为760元, 1株乙种花木售价为540元该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木,若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元,花农有哪几种具体的培育方案?【答案】解:(1)设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元 由题意得:, 解得: (2)设种植甲种花木为a株,则种植乙种花木为(3a+10)株 则有: 解得: 由于a为整数,a可取18或19或20,所以有三种具体方案:种植甲种花木18株,种植乙种花木3a+10=64株;种植甲种花木19株,种植乙种花木3a+10=67株;种植甲种花木20株,种植乙种花木3a+10=70株.