1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页基础梳理1直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角的取值范围是：0，)2直线的斜率条件公式直线的倾斜角，且90ktan_直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2) 且x1x2k3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在4.直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)yy1k(xx1)不含直线xx1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距bykxb不含垂直于
2、x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b1(a0，b0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式1斜率与倾斜角的两个关注点(1)倾斜角的范围是0，)，斜率与倾斜角的函数关系为ktan ，图像为：(2)当倾斜角为90 时，直线垂直于x轴，斜率不存在2直线A1xB1yC1
3、0与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.四基自测1(基础点：根据两点求斜率)过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3 D.1或4答案：A2(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线xy10的倾斜角是()A.BC.D.答案：D3(基础点：直线的点斜式方程)已知直线l经过点P(2，5)，且斜率为，则直线l的方程为_答案：3x4y1404(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为_答案：3x5y150或7x5y350授课提示：对应学生用书第151页考点一直线的倾斜角与斜率挖掘1依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练
4、透例1(1)(2020常州模拟)若ab0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析kPQ1或0，解得1a或a0.综上可知，实数a的取值范围是(0，)破题技法直线倾斜角与斜率的关系(1)当且由0增大到时，k由0增大到.(2)当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k由趋近于0(k0)(3)任何直线都对应着0，)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率考点二求直线方程挖掘求直线方程的方法/ 自主练透例求适合下列条件的直线方程：(1)求过点(2，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程；(2)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的
5、直线方程解析(1)法一：由题意可设直线方程为1.则解得ab3，或a4，b2.故所求直线方程为xy30或x2y40.法二：设直线方程为ykxb，则在x轴上的截距为，所以b6，又直线过点(2，1)，则2kb1.由得或故所求直线方程为xy30或x2y40.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.当直线过原点时，斜率k，直线方程为yx，即2x5y0，综上可知，所求直线方程为x2y10或2x5y0.破题技法1.求直线方程的方法方法解读题型直接法直接求出直线方程所需要的标量适合于直线标量易求的题目待定系数法设出直线方程形式，待定其中的标量适
6、合于条件较多而隐含的题目注意：考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况2设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b，常设其方程为ykxb(需保证斜率存在)；(2)已知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0(它不适用于斜率为0的直线)；(3)已知直线过点(x0，y0)，当斜率k存在时，常设其方程为yy0k(xx0)，当斜率k不存在时，则其方程为xx0；(4)与直线l：AxByC0平行的直线可表示为AxByC10(C1C)；(5)与直线l：AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10；(6)过直线l1：A1xB1yC10和直线l2：A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC
7、1(A2xB2yC2)0(不含l2).在本例(2)中，改为“过点A(5，2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为”，求直线方程解析：设所求直线在x轴的截距为a，在y轴上的截距为b，则，或.方程为xy30或4x25y300.考点三两条直线的位置关系挖掘1利用平行、垂直求参数/ 自主练透例1已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1l2；(2)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解析(1)l1l2，解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2.(2)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.1“a0”是“
8、直线l1：(a1)xa2y30与直线l2：2xay2a10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当a0时，l1：x30，l2：2x10，故l1l2.当l1l2时，若l1与l2斜率不存在，则a0；若l1与l2斜率都存在，则a0，有且，解得a，故当l1l2时，有a0.故选C.答案：C2已知直线l1：(a2)x(1a)y30与直线l2：(a1)x(2a3)y20，则“a1”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：l1l2的充要条件是(a2)(a1)(1a)(2a3)0，即a210，故有(a1)(a1)0，解
9、得a1.显然“a1”是“a1”的充分不必要条件，故选A.答案：A挖掘2利用平行或垂直关系求直线方程/ 互动探究例2(1)已知点P1(2，3)，P2(4，5)和A(1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为_解析当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k，得所求直线的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(1，4)，所以直线方程为x1.综上所述，所求直线方程为x3y50或x1.答案x3y50或x1.(2)已知正方形的中心为点M(1，0)，一条边所在直线方程是x3y50.求正方形其他三边所在直线的方程解析如图
10、，过M作边AD所在直线x3y50的垂线，垂足为E.|ME|.设直线BC的方程为x3ym0，则M到BC的距离是.令.解得m7，或m5.所以，直线BC的方程为x3y70.因为直线AB与AD垂直，所以设它的方程为3xyn0.则M到AB的距离是.令.解得n3，或n9.所以，直线AB，CD的方程分别为3xy90，3xy30.综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3xy90，x3y70，3xy30.破题技法两直线位置关系的判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1k2，且b1b2k1k21斜率存在一般式设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20无限制直接法k1与k2都不存在，且b1b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在
