1、第二课时导数与函数的极值、最值授课提示：对应学生用书第43页基础梳理1函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫作函数的极大值点，f(b)叫作函数的极大值2函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：如果在
2、区间a，b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1注意两种条件(1)f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2分清极值与最值的关系(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有
3、极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取(2)若函数f(x)的图像连续，则f(x)在a，b内一定有最值(3)若函数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值四基自测1(基础点：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个B2个C3个 D4个答案：A2(基础点：闭区间上的函数的最值)函数f(x)x23x4在0，2上的最小值是()A BC4 D答
4、案：A3(易错点：极小值点)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_答案：24(基础点：极值与最值关系)函数yxex的最小值是_答案：授课提示：对应学生用书第43页考点一求函数的极值或极值点挖掘极值的存在性问题/互动探究例(2019高考全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又当
5、xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得1x0.又fln10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数破题技法1.利用导数研究函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域；(2)求导数f(x)及f(x)0的根；(3)根据方程f(x)0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f(x)零点左右f(x)的值的符号，如果左正右负，那么yf(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么yf(x)在这个根处取极小值如果左右不改变符
6、号，那么f(x)在这个根处无极值2判断极值点的个数首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点已知函数f(x)x3ax2，aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解析：(1)由题意f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin x
7、cos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)与g(x)的函数关系为x(，a)a(a，0)0(0，)g(x)00g(x)极大极小所以当xa时，g(x)有极大值为g(a)a3sin a.当x0时，g(x)有极小值g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x)当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)与g(x)的函数关系为：x(，0)0(0，a)
8、a(a，)g(x)00g(x)极大极小所以当x0时g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，a)和(0，)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)a3sin a，极小值是g(0)a；当a0时，函数g(x)在(，)上单调递增，无极值；当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.考点二利用导数求函数的最值问题挖掘含参数的函数的最值/ 互动探究例(201
9、9高考全国卷)已知函数f(x)2x3ax22.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a0，则当x(，0)时，f(x)0，当x时，f(x)0，故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，当x时，f(x)0，故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在0，1的最小值为f2，最大值为f(0)2或f(1)4a.于是m2，M所以Mm当0a2时，可知2a单调递减，所以Mm的取值范围是.当2a3时，单调递增，所以Mm的取值范围是.综上，Mm的取值范围是.破题技法1.求函数f(x)在a，b上的最
10、大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值设函数f(x)(x1)exkx2(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k1时，求f(x)在0，2上的最值解析：(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2)由f(x)0，解得x10，x2ln 20.由f(x)0，得x0或xln 2.由f(x)0，得0xln 2.所以函数f(x)的单调增区间为
11、(，0)和(ln 2，)，单调减区间为(0，ln 2)(2)由(1)可知x0和xln 2是f(x)的极值点，且00，2，ln 20，2，f(0)1，f(ln 2)(ln 21)eln 2(ln 2)22(ln 21)(ln 2)2，由(1)可知f(0)f(1)1，在(ln 2，)上f(x)为增函数，f(2)f(1)f(ln 2)，f(x)的最大值为f(2)e24.f(x)的最小值为f(ln 2)2ln 22(ln 2)2.考点三利用极值、最值求参数挖掘已知最值求参数/ 互动探究例(2019高考全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)
12、在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解析(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减若a0，则f(x)在(，)单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f(x)在0，1单调递增，所以f(x)在区间0，1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.当a3时，由(1)知，f(x)在0
13、，1单调递减，所以f(x)在区间0，1的最大值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.当0a3时，由(1)知，f(x)在0，1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1，2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0，1的最小值为1，最大值为1.破题技法1.已知函数极值点x0，求解析式中的参数，常利用f(x0)0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征2函数yf(x)在区间(a，b)上存在极值点，则转化为函数yf(x)在区间(a，b)内
14、存在变号零点3若已知最值时，需清楚最值何时取到已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)xf(x)ax1，若g(x)在(0，)上存在极值点，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)，x(，0)(0，)，所以f(x).当f(x)0时，x1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，0)和(0，1)(2)g(x)exax1，x(0，)，所以g(x)exa，当a1时，g(x)exa0，即g(x)在(0，)上递增，此时g(x)在(0，)上无极值点当a1时，令g(x)exa0，得xln a；令g(x)exa0，得x(ln a，)；令g(x)exa0，得x(0，ln a)故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，所以g(x)在(0，)有极小值无极大值，且极小值点为xln a.故实数a的取值范围是a1.
