1、学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为()A. B. C.3 D.2【解析】由数量积的几何意义知ab32，故选D.【答案】D2.已知向量a，b满足|a|1，|b|3，且|2ab|，则a与b的夹角为()【导学号：72010065】A. B.C. D.【解析】|2ab|2494ab7，ab，cos .又0，.【答案】B3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a3e12e2，b3e14e2，则ab等于()A.2 B.1 C.1 D.2【解析】因为|e1|e2|1，e1e20，所以ab(3e12e2)(3e14e2)9|e1|28
2、|e2|26e1e2912812601.故选B.【答案】B4.若向量a与b的夹角为60，|b|4，且(a2b)(a3b)72，则a的模为()A.2 B.4 C.6 D.12【解析】(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】C5.已知向量a，b的夹角为120，|a|b|1，c与ab同向，则|ac|的最小值为()A.1 B.C. D.【解析】|a|b|1，c与ab同向，a与c的夹角为60.又|ac|，故|ac|的最小值取.【答案】D二、填空题6.已知ab，|a|2，|b|1，且3a2b与ab垂直，则
3、等于_.【解析】(3a2b)(ab)，(ab)(3a2b)0，3a2(23)ab2b20.又|a|2，|b|1，ab，12(23)21cos 9020，1220，.【答案】7.已知|a|b|c|1，且满足3amb7c0，其中a与b的夹角为60，则实数m_.【解析】3amb7c0，3amb7c，(3amb)2(7c)2，化简得9m26mab49.又ab|a|b|cos 60，m23m400，解得m5或m8.【答案】5或8三、解答题8.已知|a|4，|b|2.(1)若a、b的夹角为120，求|3a4b|；(2)若|ab|2，求a与b的夹角.【解】(1)ab|a|b|cos 120424.又|3a4
4、b|2(3a4b)29a224ab16b294224(4)1622304，|3a4b|4.(2)|ab|2(ab)2a22abb2422ab22(2)2，ab4，cos .又 0，.9.在ABC中，a，b，c，且abbcca，试判断ABC的形状.【解】如图，abc0.则abc，即(ab)2(c)2，故a22abb2c2.同理，a22acc2b2, b22bcc2a2. 由，得b2c2c2b2，即2b22c2，故|b|c|.同理，由，得|a|c|.故|a|b|c|，故ABC为等边三角形.能力提升1.(2016玉溪高一检测)已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.【解析】因为a24|a|b|cos (为向量a与b夹角).若方程有实根，则有0即a24|a|b|cos 0，又|a|2|b|，4|b|28|b|2cos 0，cos ，又0，.【答案】B2.已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角.【解】e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e211cos 60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a|，|b|，cos .又0，180，120，a与b的夹角为120.
