1、章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的焦距为()A.B2C2D4【解析】方程化为标准方程为1，a23，b29.c2a2b212，c2，2c4.【答案】D2对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0,1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1,0)D开口向右，焦点为【解析】抛物线可化为x2y，故开口向上，焦点为.【答案】B3抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是() 【导学号：15460057】A. B C1 D【解
2、析】抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21的渐近线xy0的距离为，故选B.【答案】B4已知抛物线C1：y2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线yx对称，则抛物线C2的准线方程是()Ax BxCx Dx【解析】抛物线C1：y2x2关于直线yx对称的C2的表达式为x2(y)2，即y2x，其准线方程为x.【答案】C5已知点F，A分别为双曲线C：1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为()A. BC. D【解析】0，FBAB，b2ac，又b2c2a2，c2a2ac0，两边同除以a2，得e21e0，e.【答案】D6(2013全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0
3、)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx【解析】由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为yx.【答案】C7.如图1，已知F是椭圆1(ab0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PFx轴，OPAB(O为原点)，则该椭圆的离心率是()图1A. B C D【解析】因为PFx轴，所以P.又OPAB，所以，即bc.于是b2c2，即a22c2，所以e.【答案】A8若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C. D【解析】因为双曲线左焦点的坐标为F(2,0)，所以c
4、2.所以c2a2b2a21，即4a21，解得a.设P(x，y)，则x(x2)y2，因为点P在双曲线y21上，所以x22x121.又因为点P在双曲线的右支上，所以x.所以当x时，最小，且为32，即的取值范围是32，)【答案】B9已知定点A，B满足AB4，动点P满足PAPB3，则PA的最小值是()A. B C D5【解析】已知定点A，B满足AB4，动点P满足PAPB3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a，c2.所以PA的最小值是点A到右顶点的距离，即为ac2，选C.【答案】C10若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则n()A. B C D【解析】依题意知，a，b，c2a2b22n
5、，又e，n.【答案】B11已知直线yk(x2)与双曲线1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2BxC0，分类讨论：(1)当A0时，该方程恒有一解；(2)当A0时，B24AC0恒成立在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是()A(1, B，)C(1,2 D2，)【解析】依题意可知直线恒过定点(2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即2，即00)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q()A位于原点的左侧 B与原点重合C
6、位于原点的右侧 D以上均有可能【解析】设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知PCPF，由切线性质知PAPB，于是ACBF.又ACDO，BFFQ，所以DOFQ，而DOFO，所以O，Q重合，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13(2013江苏高考)双曲线1的两条渐近线的方程为_【解析】由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.【答案】yx14(2016东城高二检测)已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若F2AF2B12，则AB_. 【导
7、学号：15460058】【解析】由题意，知(AF1AF2)(BF1BF2)ABAF2BF22a2a，又由a5，可得AB(BF2AF2)20，即AB8.【答案】815.如图2所示，已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作ABl于B，AKAF，则AFK的面积为_图2【解析】由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)(y00)，过点A作ABl于B，B(2，y0)，AFABx0(2)x02，BK2AK2AB2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面积为KFy0448.【答案】816设F为抛物线C：y
8、24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ2，则直线l的斜率等于_【解析】设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由联立得k2x22(k22)xk20，x1x2，1，即Q.又FQ2，F(1,0)，224，解得k1.【答案】1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程【解】设椭圆的半焦距为c，依题意，得a且e，a，c，从而b2a2c21，因此所求椭圆的方程为y21.18(本小题满分12分
9、)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求PF1PF2的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值【解】(1)PF1PF22100(当且仅当PF1PF2时取等号)，PF1PF2的最大值为100.(2)SF1PF2PF1PF2sin 60，PF1PF2，由题意知：3PF1PF24004c2.由得c6，b8.19(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切(1)求圆C的方程；(2)若椭圆1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得PF1F2为直角三角形？若存
10、在，请指出共有几个这样的点？并说明理由【解】(1)依题意，设圆的方程为(xa)2y216(a0)圆与y轴相切，a4，圆的方程为(x4)2y216.(2)椭圆1的离心率为，e，解得b29.c4，F1(4,0)，F2(4,0)，F2(4,0)恰为圆心C，()过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则P1F2F1P2F2F190，符合题意；()过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，连接CP3，CP4，则F1P3F2F1P4F290，符合题意综上，圆C上存在4个点P，使得PF1F2为直角三角形20(本小题满分12分)(2016江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上
11、，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积【解】(1)e，可设双曲线方程为x2y2.过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)法一由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.21(本
12、小题满分12分)(2013北京高考)已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由【解】(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2,0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)四边形OABC不可能为菱形理由如下：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消去y并整理
13、得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点，且kOAkOB.求证：AOB的面积为定值【解】(1)由题意得，b，又b2c2a2，联立解得a24，b23，椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足消去y化简得，(34k2)x28kmx4m2120.x1x2，x1x2，由0得4k2m230，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2.kOAkOB，即y1y2x1x2，即2m24k23，|AB|.又O到直线ykxm的距离d.SAOBd|AB|，为定值
