1、第五节 探究弹性势能的表达式 1理解弹性势能的概念。2进一步了解功和能的关系，掌握弹力做功与弹性势能变化的关系。3知道弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关。4领悟通过细分过程化变力为恒力计算变力做功的思想方法。01课前自主学习 1.弹性势能的认识(1)弹性势能的概念发生的物体的各部分之间，由于有的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。(2)弹簧的弹性势能当弹簧的长度为时，它的弹性势能为 0，弹簧被或被后，就具有了弹性势能。01 弹性形变02 弹力03 原长04 拉长05 压缩2探究弹性势能的表达式(1)决定弹性势能大小相关因素的猜想猜想依据：弹性势能和重力势能同属，重力势能大小与物体的和有
2、关，弹簧弹力与其和有关。猜想结论：弹性势能与弹簧的和有关，在弹簧的形变量 l 相同时，弹簧的劲度系数 k 越大，弹簧的弹性势能；在弹簧劲度系数 k 相同时，弹簧形变量 l 越大，弹簧弹性势能。06 势能07 质量08 高度09 形变量10 劲度系数11 形变量 l12 劲度系数 k13 越大14 越大(2)探究思想弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能变化的关系。用拉力缓慢拉动弹簧，拉力做的功克服弹力做的功。15 相似19 等于(3)数据处理拉力随形变量的增大而，故拉力为变力。计算拉力做功可以用以下两种方法：微元法(“化变为恒”法)：把整个过程划分为很多小段，各个小段上的拉力可以近似
3、认为不变，整个过程拉力做的总功等于各段拉力做功的代数和：W 总F1l1F2l2F3l3。图象法：作出 F-l 图象，则弹力做功等于图象与 l 轴。20 增大21 围成的面积(4)结论F-l 图象如图所示，拉力 F 等于弹力 kl，故当弹簧形变量为 l0时，F0(k 为弹簧的劲度系数)，图中图线与 l 轴围成的面积表示拉力做功，W0。由此可得出，弹性势能的表达式为 Ep。22 kl023 12kl2024 12kl2判一判(1)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。()(2)同一弹簧发生不同的形变量时弹力做功不同。()(3)弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加。()提示：(2)弹力做功多少除与它
4、的形变量有关外，还与它的劲度系数有关。(3)弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加。提示 想一想1.压缩的弹簧可以把小球弹出很远、拉开的弓可以把箭射出、撑杆跳高运动员可以借助手中的弯曲的杆跳得很高，这些现象说明什么？提示：说明发生弹性形变的物体具有能量，这种形式的能量是由物体的形变而引起的。提示 2如图所示，用一弹簧制作一弹射装置。要想把小球弹的越远，弹簧的形变量必须怎样？由此设想，对同一条弹簧而言，弹性势能与什么因素有关，弹簧把小球弹出过程能量是如何转化的？提示：弹簧形变量越大，小球弹的越远，弹性势能与弹簧形变量有关，小球弹出过程中弹簧弹性势能转化为小球动能。提示 0
5、2课堂探究评价 课堂任务 弹性势能的产生及相关物理量仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动 1：甲、乙图中射箭和弹弓有什么共同点？提示：都是依靠物体产生弹性形变而具有弹性势能进行工作的。都是形变的物体恢复原状的过程中对另一个物体有作用力，从而使“箭”或“弹”射出。提示 活动 2：甲、乙图中的装备不变怎么能使“箭”或“弹”射得更远？与弓的质量有关吗？提示：只有加大力度让弹性形变的物体形变量更大才行。增加或减小弓的质量不起作用，与弓的质量无关。提示 活动 3：乙图中小男孩如何实现拉开橡皮条较小距离就可以使同样的石头射得更远？提示：多用几条橡皮条，或者换用要较大力才能拉开同样距离的橡皮条，类似
6、于增大弹簧的劲度系数。提示 活动 4：如丙图所示，将同一弹簧压缩到不同的程度，让其推动木块，哪种推得更远？提示：压缩量大的弹簧把木块推得更远。提示 活动 5：如丙图所示，取一个硬弹簧，一个软弹簧，分别把它们压缩相同程度，让其推动木块，哪种推得更远？提示：硬弹簧把木块推得更远。提示 活动 6：讨论、交流、展示，得出结论。(1)弹性势能的产生原因物体发生了弹性形变。各部分间的弹力作用。(2)影响弹簧的弹性势能的因素弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性势能的因素猜想如下：例 1 关于弹性势能，下列说法中正确的是()A只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时不会有弹性势能B
7、弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能C在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大D火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小(1)什么物体具有弹性势能？提示：只要有弹性形变的物体都具有弹性势能。提示 (2)弹簧弹性势能与哪些因素有关？提示：与弹簧的形变量和劲度系数有关。形变量越大，劲度系数越大，弹性势能越大。提示 规范解答 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，A 错误；弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能，B 错误；弹性势能大小与弹簧形变量大小有关，形变量越大，弹性势能越大，C 正确；火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的
8、弹簧劲度系数大，所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，D 错误。完美答案 C答案 所有发生弹性形变的物体都具有弹性势能，弹性形变越大，劲度系数越大，弹性势能越大。变式训练1 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()A当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大B当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小C在拉伸长度相同时，劲度系数 k 越大的弹簧，它的弹性势能越大D弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能答案 C答案 解析 弹簧弹性势能的大小，跟劲度系数和形变量(拉伸或压缩的长度)有关，劲度系数越大，形变量越大，弹性势能越大，C 正确，D 错误。如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的
9、弹性势能应先减小后增大，在原长处最小，A 错误，同理，B 错误。解析 课堂任务 弹性势能与弹力做功的关系仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动 1：小孩拉弹簧时小孩对弹簧做什么功？弹簧的弹力做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？提示：小孩拉弹簧时，拉力和位移方向一致，小孩对弹簧做正功。而弹力与位移方向相反，弹力做负功。弹簧的形变量增大，弹性势能增加。提示 活动 2：弹簧伸长后(处于拉伸状态)小孩松手弹簧恢复原长的过程中弹簧的弹力做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？要是小孩在弹簧恢复原长的过程中还拉着弹簧，弹性势能还减小吗？提示：小孩松手后，弹簧恢复原长的过程中，弹力与位移方向一致，弹力做正功。
10、弹簧形变量减小，弹性势能减小。小孩在弹簧恢复原长的过程中拉不拉着弹簧结论都是一样的。提示 活动 3：小孩压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力做什么功？做的功越多弹性势能越大吗？提示：小孩压缩弹簧的过程中，弹力与位移方向相反，弹力做负功。形变量增大，弹性势能增加；而且，做的负功越多，压缩量越大，弹性势能越大。提示 活动 4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)弹性势能与弹力做功的定性关系弹力做负功时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。(2)弹性势能与弹力做功的定量关系：弹力做功与弹性势能的关系式为W 弹EpEp1Ep2。(3)弹性势能与弹力做
11、功的关系图 弹性势能只与弹力做功有关，跟其他任何力是否做功、做多少功没有关系。例 2 如图所示，质量为 m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移 H，将物体缓缓提高 h，拉力 F 做功 WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是()A重力做功mgh，重力势能减少 mghB弹力做功WF，弹性势能增加 WFC重力势能增加 mgh，弹性势能增加 FHD重力势能增加 mgh，弹性势能增加 WFmgh(1)重力势能的改变只与_有关，与有无其他力做功、做多少功_。提示：重力做功 无关提示 (2)弹性势能的改变只与_有关，与有无其他力做功，做多少功_，但由于弹力是_力，所以往往间接
12、求弹力做功。提示：弹力做功 无关 变提示 规范解答 可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到物体刚要离开地面，拉力克服弹力做功 WF1W 弹，等于弹性势能的增量；二是弹簧长度不变，物体上升 h，拉力克服重力做功 WF2WGmgh，等于重力势能的增量，又由 WFWF1WF2 可知 A、B、C 错误，D 正确。完美答案 D答案 弹性势能的变化与弹力做功的关系(1)弹力做功和重力做功一样也与路径无关，只与初、末位置有关。(2)弹性势能的变化只与弹力做功有关，与其他任何力做不做功都没关系。弹力对其他物体做了多少功，弹性势能就减少多少，克服弹力做多少功，弹性势能就增加多少，弹性势能的变化量总等于弹力做功
13、的负值，即 W 弹Ep。(3)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，故在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能位置。弹簧原长处弹性势能最小，往往认为是零。变式训练2 如图所示，一轻弹簧一端固定于 O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点 O 在同一水平面且弹簧保持原长的 A 点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由 A 点摆向最低点 B 的过程中()A重力做正功，弹簧弹力不做功B重力做正功，弹簧弹力做正功C重力不做功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变D重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加解析 在重物由 A 点摆向最低点 B 的过程中，重力做正功，弹簧伸长，弹力做负功，弹性势能增加，
14、故 D 正确，A、B、C 错误。解析 答案 D答案 课堂任务 弹性势能的表达式仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动 1：甲图是什么意思？提示：是指匀变速直线运动可以采用微元法来求位移，当无限细分时，匀变速直线运动的位移可以看成无数个匀速直线运动的总位移，这样就可以像匀速直线运动一样，用速度与时间轴所围成的面积表示位移。提示 活动 2：乙图是什么意思？提示：和甲图的思维类似，“化变为恒”求拉力做的功：W总F1l1F2l2。最终 F-l 图象与 l 轴围成的面积就表示拉力克服弹力所做的功。提示 活动 3：当把弹簧拉伸 l1 时，克服弹力所做的功是多少？弹性势能是多少？提示：F-l 图线下方
15、三角形的“面积”值就是克服弹力所做的功，克服弹力做的功为12kl21，即弹簧弹力做功 W12kl21，根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系知道弹性势能 EpW12kl21。提示 活动 4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)弹性势能的表达式为：Ep12kl2弹簧处于原长时没有形变，弹性势能最小，通常认为为零。对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时弹性势能是一样的。对于某一弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两个不同的状态。(2)变力做功的计算方法：微元法；图象“面积”法。(3)重力势能和弹性势能的对比例 3 弹簧原长 l015 cm，受拉力作用后弹簧逐渐拉长，当弹簧伸长到l120 cm 时，作用在弹
16、簧上的力为 400 N，问：(1)弹簧的劲度系数 k 为多少？(2)在该过程中弹力做了多少功？(3)弹簧的弹性势能变化了多少？(1)用什么规律找到弹簧形变与力的关系？提示：胡克定律 Fkl。提示 (2)能用 WFlcos 来计算弹力所做的功吗？提示：公式 WFlcos 只适用于恒力做功，弹簧弹力是变力，拉伸弹簧时弹力做的功不能用恒力做功的公式计算；由弹力做功与弹性势能变化的关系或图象“面积”法可以得出弹力所做的功。提示 规范解答(1)根据胡克定律 Fkl 得：kFl Fl1l04000.200.15 N/m8000 N/m。(2)根据 Fkl 作出 F-l 图象如图所示，求出图中阴影部分的面积
17、，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力 F 的方向与位移 l 的方向相反，故弹力 F 在此过程中做负功，W120.05400 J10 J。答案(3)弹力 F 做负功，则弹簧弹性势能增加，且做负功的多少等于弹性势能的变化量，Ep10 J。完美答案(1)8000 N/m(2)10 J(3)10 J答案 我们可以通过计算克服弹力所做的功，来定量计算弹性势能的变化。变式训练3 在一次演示实验中，一个压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一个小球，测得弹簧压缩的长度 d 和小球在粗糙水平面滚动的距离 x 如下表所示。由此表可以归纳出小球滚动的距离 x 跟弹簧压缩的长度 d 之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能
18、Ep跟弹簧压缩的长度 d 之间的关系分别是(选项中 k1、k2 是常量)()实验次数1234d/cm0.501.002.004.00 x/cm4.9820.0280.10319.5Axk1d，Epk2dBxk1d，Epk2d2Cxk1d2，Epk2dDxk1d2，Epk2d2答案 D答案 解析 弹簧压缩量 d1d2d3d41248，对于小球滑行距离在误差范围内有 x1x2x3x4141664，则可归纳出 xk1d2。弹簧释放后，小球在弹簧的弹力作用下加速，在粗糙水平面滚动距离 x，从能量转化的角度得弹性势能转化为克服摩擦力做功的能量，列出等式 Epfx，f 为摩擦力，恒量，所以 Ep正比于 d
19、2，即 Epk2d2，D 正确。解析 03课后课时作业 A 组：合格性水平训练1(弹性势能的认识)(多选)下列物体中，具有弹性势能的是()A被拉长的橡皮筋B在空中自由下落的球C被拉细的铜丝D被弯曲的钢片答案 AD答案 解析 拉伸的橡皮筋、弯曲的钢片具有弹性势能，自由下落的小球、被拉细的铜丝无弹性势能，A、D 正确，B、C 错误。解析 2.(弹性势能与形变)如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是()A弹力变大，弹性势能变小B弹力变小，弹性势能变大C弹力和弹性势能都变小D弹力和弹性势能都变大答案 D答案 解析 将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的
20、弹力变大，弹性势能变大，故 A、B、C 错误，D 正确。解析 3(弹力做功与弹性势能的变化)(多选)某同学利用橡皮条将模型飞机弹出，在弹出过程中，下列说法正确的是()A橡皮条收缩，弹力对飞机做功B飞机的动能增加C橡皮条的弹性势能减少D飞机的重力势能减小，转化为飞机的动能答案 ABC答案 解析 橡皮条收缩产生弹力将飞机推出，弹力对飞机做正功，飞机动能增加，橡皮条弹性势能减少，飞机上升，重力势能增加，A、B、C 正确，D错误。解析 4(弹力做功与弹性势能的变化)(多选)关于弹力做功与弹性势能的说法正确的是()A弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能B克服弹力所做的功等于弹簧所具有的弹性势能C弹力所做
21、的功等于弹簧弹性势能的减少D克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能的增加答案 CD答案 解析 弹力做功的过程是弹簧弹性势能变化的过程，克服弹力做多少功，表明弹性势能变化了多少，与物体具有多少弹性势能无关，A、B 错误；弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，做负功则弹簧的弹性势能增加，C、D 正确。解析 5(弹性势能的变化)(多选)图甲是玩蹦极游戏的示意图，将弹性绳子的一端系在人身上，另一端固定在高处，然后人从高处跳下。图乙是人到达最低点时的情况，其中 AB 为弹性绳子的原长，C 点是弹力等于重力的位置，D 点是人所到达的最低点，对于人离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是()A重力对人一直做正功B人的
22、重力势能一直减小C人通过 B 点之后，弹性绳子具有弹性势能D从 A 点到 D 点，弹性绳子的弹性势能一直增加答案 ABC答案 解析 整个过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小；人从高空落下到弹性绳子达到原长的过程中，弹性绳子不做功，此后弹性绳子一直做负功，弹性势能一直增加，A、B、C 正确，D 错误。解析 6(弹力做功和弹性势能的变化)一根弹簧的弹力位移图象如图所示，那么弹簧由伸长 8 cm 到伸长 4 cm 的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为()A3.6 J，3.6 J B3.6 J,3.6 JC1.8 J，1.8 J D1.8 J,1.8 J答案 C答案 解析 弹簧由伸长 8 cm
23、到伸长 4 cm 的过程中，弹力做正功，且做的功等于 F-x 图象与 x 坐标轴围成的面积，故 W12(3060)0.04 J1.8 J，据 WEp知，弹簧弹性势能的变化量 Ep1.8 J，C 项正确。解析 7(弹性势能与形变)(多选)如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力 F 作用下缓慢拉伸了 x，关于拉力 F、弹性势能 Ep 随伸长量 x 的变化图象正确的是()答案 AD答案 解析 因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律 Fkx 可知，F-x 图象为过原点的倾斜直线，A 正确、B 错误；因为 Ep12kx2，所以 D 正确、C 错误。解析 8(弹性势能的决定因素
24、)如图所示，在光滑水平面上有 A、B 两物体，中间连一弹簧，已知 mA2mB，今用水平恒力 F 向右拉 B，当 A、B 一起向右加速运动时，弹簧的弹性势能为 Ep1，如果用水平恒力 F 向左拉 A，当 A、B 一起向左加速运动时，弹簧的弹性势能为 Ep2，比较 Ep1 与 Ep2 的大小。答案 Ep1Ep2答案 解析 设 mBm，则 mA2m，向右拉 B 时加速度 a1 F3m。对 A 物体有 kx12ma1，得 x12ma1k2F3k。当向左拉 A 时，加速度 a2 F3m，对 B 物体有 kx2ma2，得 x2ma2k F3k，可见 x1x2，从而 Ep1Ep2。解析 9.(弹力做功和弹性
25、势能的变化)如图所示，水平弹簧劲度系数 k500 N/m。用一外力 F(F 未画出)推物块，使弹簧压缩 10 cm 而静止。突然撤去外力 F，物块被弹开，那么弹簧对物块做多少功？弹性势能的变化量是多少？(弹簧与物块没连接，水平面光滑)答案 2.5 J 减少 2.5 J答案 解析 解法一：弹簧被压缩，具有弹性势能，其大小 Ep12kx2125000.12 J2.5 J，撤去外力 F 弹簧具有的弹性势能通过做功转化为别的能，当恢复原长时弹力为零不再做功，故弹力对物体做了 2.5 J 的功，弹性势能减少了 2.5 J。解法二：由于有时不要求记忆弹性势能公式，故可以通过变力做功方式进行计算。解析 弹簧
26、的弹力是变力，不能直接用 WFlcos 进行计算。但由于弹簧的弹力遵循胡克定律，可以作出胡克定律的图象表示功。弹开过程弹力逐渐减小，当恢复原长时弹力为零，根据胡克定律，弹簧被压缩 10 cm 时，Fkl50 N，可作物块的受力与位移的关系如图，根据力位移图象所围面积表示在这一过程中的功，有 W12500.1 J2.5 J。由弹力做功与弹性势能变化的关系可知，弹性势能的变化量 EpW2.5 J。解析 B 组：等级性水平训练10(弹力做功特点)如图所示，轻弹簧下端系一重物，O 点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到 A 点，弹力做功 W1，第二次把它
27、拉到 B 点后再让其回到 A 点，弹力做功 W2，则这两次弹力做功的关系为()AW1W2BW12W2CW22W1DW1W2答案 D答案 解析 弹力做功的特点与重力做功一样，不用考虑路径，只看起始与终止位置，故 D 项正确。解析 11(弹力做功和弹性势能的变化)如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 作用下物体处于静止状态，当撤去 F 后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()A弹簧的弹性势能逐渐减小B弹簧的弹性势能逐渐增大C弹簧的弹性势能先增大后减小D弹簧的弹性势能先减小后增大解析 撤去 F 后物体向右运动的过程中，弹簧的弹
28、力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大，D 正确。解析 答案 D答案 12(弹性势能的决定因素)一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度 v 随时间 t 变化的图象如图所示，图中只有 Oa 段和 cd 段为直线。则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为()A仅在 t1 到 t2 的时间内B仅在 t2 到 t3 的时间内C在 t1 到 t3 的时间内D在 t1 到 t5 的时间内解析 小孩从高处落下，在 0t1 时间内小孩只受重力作用；在 t1t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床
29、受到压力；t3 时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小。故 C 正确。解析 答案 C答案 13(综合提升)如图所示，一劲度系数 k800 N/m 的轻质弹簧两端分别焊接着 A、B 两物体，mA16 kg，mB8 kg，直立于水平地面而静止，现给物体 A 加一个竖直向上的力 F，使 A 由静止开始向上做匀加速运动，经 0.2 s，B 刚要离开地面，设整个过程弹簧都处于弹性限度内(g 取 10 m/s2)。(1)求 B 刚要离开地面时，A 物体上升的高度；(2)求在此过程中所加外力 F 的最大值和最小值；(3)求在此过程中弹性势能的变化量；
30、(4)在此过程中弹簧对 A 做了正功还是负功，做了多少功？答案(1)0.3 m(2)480 N 240 N(3)12 J(4)正功 12 J答案 解析(1)A 静止时设弹簧压缩了 x1，则有 kx1mAg，所以 x1mAgk 0.2 m，设 B 刚要离开地面时弹簧伸长了 x2，则 kx2mBg，所以 x2mBgk 0.1 m，所以在此过程中 A 上升的高度hx1x2(0.20.1)m0.3 m。解析(2)由位移公式 h12at2，得 a2ht2 15 m/s2。当弹簧处于压缩状态时，A 受弹力向上，故有 FkxmAgmAa，当压缩量 x 最大时，F 最小，此时 xx1，所以 FminmAgmAakx1，代入数据，得 Fmin240 N。当弹簧处于伸长状态时，A 受弹力向下，故有 FkxmAgmAa，当伸长量 x 最大时，F 最大，此时 xx2，解析 所以 FmaxmAgmAakx2，代入数据，得 Fmax480 N。(3)弹性势能改变量EpEp2Ep112kx2212kx2112 J。(4)由 Ep12 J 知弹性势能减少了 12 J，则弹簧对 A 物体做了正功，为 12 J。解析 本课结束
